On a \(c_0(g) = c_1(g) = c_{-1}(g) = 0\), donc \(g\) est orthogonale à tout polynôme trigonométrique de degré inférieur ou égal à \(1\). Si \(g\) est de signe constant sur \(]0,2\pi[\), on contredit \(c_0(g) = 0\). Donc \(g\) a au moins une racine \(a\in{]0,2\pi[}\). Si \(g\) n’a pas d’autre racine dans \(]0,2\pi[\) alors \(g\) est de signes constants opposés sur \(]0,a[\) et \(]a,2\pi[\). Mais alors \(g(t)(\cos(t-a/2)-\cos(a/2))\) est de signe constant sur la réunion de ces intervalles, c’est absurde. Donc \(g\) a une deuxième racine dans \(]0,2\pi[\), par exemple \(b\in{]a,2\pi[}\). Si \(g\) n’a pas d’autre racine sur \(]0,2\pi[\) alors \(g\) est de signes constants sur \(]0,a[\), \(]a,b[\) et \(]b,2\pi[\) et les signes alternent. On obtient une nouvelle contradiction car alors \(g(t)(\cos(t-(a+b)/2)-\cos((b-a)/2))\) est de signe constant sur la réunion de ces intervalles. Ainsi \(g\) admet une troisième racine, par exemple \(c\in{]b,2\pi[}\). Enfin, si l’on suppose que \(g\) n’a pas d’autre racine sur \(]0,2\pi[\) alors on a \(g(t) > 0\) sur \(]0,a[\) et \(]b,c[\) et \(g(t) < 0\) sur \(]a,b[\) et \(]c,2\pi[\) ou l’inverse. Dans les deux cas, on en déduit que \(g(0) = g(2\pi) = 0\).

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