Dans un atelier, on produit des boulons dont le diamètre \(D\) (en mm) suit une loi normale \(\mathcal{N}(10, \sigma=0.2)\).
On prélève un échantillon aléatoire de \(n = 20\) boulons. On note \(D_i\) le diamètre du boulon \(i\) (\(1 \leq i \leq 20\)).
Déterminer la loi suivie par la moyenne empirique : \[\bar{D} = \frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20} D_i\] Préciser son espérance et sa variance. Justifier.
On définit : \[Q = \frac{1}{0.04}\sum_{i=1}^{20} (D_i - 10)^2\] Quelle loi suit \(Q\) ? Déterminer la valeur \(q\) telle que \(P(Q > q) = 0.05\).
Un boulon est dit conforme si son diamètre est compris entre 9.6 mm et 10.4 mm.
Calculer \(P(9.6 \leq D \leq 10.4)\) pour un boulon pris au hasard.
Méthode : Standardiser avec \(Z = \dfrac{D - 10}{0.2} \sim \mathcal{N}(0,1)\).
Le critère de conformité impose qu’au moins 95% des boulons soient conformes. Ce critère est-il respecté ?
On s’intéresse maintenant à la moyenne empirique \(\bar{D}\) et à la variance empirique \(S^2\) d’un échantillon de \(n = 20\) boulons. On rappelle que : \[S^2 = \frac{1}{19}\sum_{i=1}^{20}(D_i - \bar{D})^2\]
On définit la variable : \[T = \frac{\bar{D} - 10}{\sqrt{\frac{S^2}{20}}}\]
Quelle loi suit \(T\) ? Justifier.
Déterminer un intervalle de confiance à 95% pour le diamètre moyen \(\mu\) si on observe \(\bar{d} = 10.05\) mm et \(s^2 = 0.038\) sur un échantillon de 20 boulons.