Soit \(f\) l’application de \(F\times G\) dans \(E\) qui à un élément \((x,y)\) de \(F\times G\) associe \(x+y\).

\(f\) est clairement linéaire et d’après le thèorème du rang

\(\text{dim}(F\times G)=\text{dim}(\text{Ker}f)+\text{dim}(\text{Im}f)\) avec \(\text{dim}(FxG)=\text{dim}F +\text{dim}G\) et \(\text{dim}(\text{Im}f)=\text{dim}(F+G)\).

Il reste à analyser \(\text{Ker}f\).

Soit \((x,y)\in E^2\). \((x,y)\) est élément de \(\text{Ker}f\) si et seulement si \(x\) est dans \(F\), \(y\) est dans \(G\) et \(x+y=0\) ou encore si et seulement si \(x\) et \(y\) sont dans \(F\cap G\) et \(y=-x\). Donc \(\text{Ker}f=\{(x,-x),\;x\in F\cap G\}\).

Montrons enfin que \(\text{Ker}f\) est isomorphe à \(F\cap G\). Soit \(\varphi\) l’application de \(F\cap G\) dans \(\text{Ker}f\) qui à l’élément \(x\) de \(F\cap G\) associe \((x,-x)\) dans \(\text{Ker}f\). \(\varphi\) est clairement une application linéaire, clairement injective et clairement surjective. Donc \(\varphi\) est un isomorphisme de \(F\cap G\) sur \(\text{Ker}f\) et en particulier \(\text{dim}(\text{Ker}f)=\text{dim}(F\cap G)\). Finalement

\(\text{dim}(F+G)=\text{dim}F+\text{dim}G-\text{dim}(F\cap G)\).

exo7 5575