Soit \(Z\sim\mathcal N(0,1)\). On pose \(V=Z^2\) et \(R=\frac Z{\sqrt V}\) lorsque \(Z\neq0\) ; on définit \(R=0\) lorsque \(Z=0\), événement de probabilité nulle. Un étudiant affirme : \(Z\) est normale centrée réduite et \(V\) suit une loi du khi-deux à un degré de liberté. Donc \(R\) suit une loi de Student à un degré de liberté.
Vérifier que \(V\sim\chi^2(1)\).
Simplifier \(R\) lorsque \(Z\neq0\), puis déterminer sa loi. Peut-il suivre une loi de Student ?
Expliquer précisément l’erreur dans le raisonnement de l’étudiant.
Soit maintenant \(Y\sim\mathcal N(0,1)\) indépendante de \(Z\). Quelle est la loi de \(R'=\frac Y{\sqrt V}\), défini arbitrairement lorsque \(V=0\) ? Justifier.
Calculer \(\operatorname{Cov}(Z,V)\). Que montre cet exemple ?