Quand le nombre de vecteurs égal la dimension de l’espace nous avons les équivalences, entre être une famille libre et être une famille génératrice et donc aussi être une base.

Trois vecteurs dans \(\Rr^3\) forment donc une base si et seulement s’ils forment une famille libre. Vérifions quand c’est le cas.

\[\begin{align*} & a (1, 0, t) + b (1, 1, t) + c (t,0,1) = (0,0,0) \\ \iff & (a+b+tc,b,at+bt+c)=(0,0,0) \\ \iff & \begin{cases} a+b+tc = 0 \\ b = 0 \\ at+bt+c = 0 \\ \end{cases} \iff \begin{cases} b = 0 \\ a+tc = 0 \\ at+c = 0 \\ \end{cases} \\ \iff & \begin{cases} b = 0 \\ a=-tc \\ (-tc)t+c = 0 \\ \end{cases} \iff \begin{cases} b = 0 \\ a=-tc \\ (t^2-1)c = 0 \\ \end{cases} \\ \end{align*}\]

Premier cas : si \(t\neq \pm 1\). Alors \(t^2-1 \neq 0\) et donc la seule solution du système est \((a=0,b=0,c=0)\). Dans ce cas la famille est libre et est donc aussi une base.

Deuxième cas : si \(t=\pm1\). Alors la dernière ligne du système disparaît et il existe des solutions non triviales (par exemple si \(t=1\), \((a=1,b=0,c=-1)\) est une solution). La famille n’est pas libre et n’est donc pas une base.

exo7 996