Les fonctions de Bessel sont très importantes en Analyse. Elles apparaissent très souvent dans des problèmes de physique mathématique. L’analyse complexe permet d’étudier de manière approfondie ces fonctions. Ici nous nous contentons des tout débuts de la théorie. Nous ne considérons que les fonctions1 \(J_0\), \(J_1\), \(J_2\), …, qui sont définies par les formules: 2 \[\nu\in\Nn,z\in\Cc\qquad J_\nu(z) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(\frac z2)^{2n+\nu}}{n!(n+\nu)!}\]
Montrer que le rayon de convergence de la série définissant \(J_\nu\) est \(+\infty\).
En dérivant terme à terme prouver les formules: \[\begin{align*} (z^\nu J_\nu)' &= z^\nu J_{\nu-1}\qquad\quad\ (\nu\geq1)\\ (z^{-\nu} J_\nu)' &= - z^{-\nu} J_{\nu+1}\qquad(\nu\geq0) \end{align*}\] En particulier on a \((zJ_1)' = zJ_0\) et \(J_0^{\,'} = - J_1\).
Réécrire les équations précédentes sous la forme \((z\frac d{dz} + \nu) J_\nu = z J_{\nu-1}\) (\(\nu\geq1\)) et \((z\frac d{dz} - \nu) J_\nu = - z J_{\nu+1}\) (\(\nu\geq0\)) et en déduire \(-(\frac d{dz} + \frac{\nu + 1}z)(\frac d{dz} - \frac\nu z)J_\nu = J_\nu\), puis, après simplification, l’équation différentielle de Bessel: \[z^2 J_\nu'' + zJ_\nu' + (z^2 - \nu^2)J_\nu = 0\]
Montrer, pour tout \(\nu\in\Nn\), que la série entière définissant \(J_\nu\) est la seule (à une constante multiplicative près) qui donne une solution de l’équation différentielle de Bessel.1