Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) vérifiant \(f^2={\rm mathrm{Id}}_E\).
1
Démontrer que les seules valeurs propres possibles de \(f\) sont \(1\) et \(-1\).
2
Vérifier que pour tout \(\vec x\in E\), on a \[f(\vec x-f(\vec x))=-(\vec x-f(\vec x))\ \ {\hbox{et}}\ \ f(\vec x+f(\vec x))=(\vec x+f(\vec x))\] et en déduire que \(f\) admet toujours une valeur propre.
3
Démontrer que si \(1\) et \(-1\) sont valeurs propres, alors \(E\) est somme directe des sous-espaces propres correspondants.
4
Traduire géométriquement sur un dessin dans le cas \(n=2\).