Les dérivées partielles de \(g(x, y)\) sont :

\[\frac{\partial f}{\partial x} = y+3x^2y^2\] \[\frac{\partial g}{\partial y} = x+2x^3y\]

Ainsi, recherchons les points critiques, c’est-à-dire vérifiant \(\frac{\partial g}{\partial x} (x,y)=\frac{\partial g}{\partial y} (x;y)=0\).
Nous obtenons alors que \(y(1+3x^2y)=0\) et \(x(1+2x^2y^2)=0\).

Raisonnons alors par disjonction des cas: si \(y=0\) (1ere équation), alors nécessairement \(x=0\) (seconde équation).
Si \(1+3x^2y=0\), alors si \(x=0\) ce qui est absurde (\(1=0\)), soit c’est \(1+2x^2y=0\). Cela conduit alors à \(x^2y=0\), d’où \(x=0\) ou \(y=0\), ce qui est ici absurde (hypothèse \(1+3x^2y=0\)).

Nous en déduisons donc que l’unique point critique de la fonction \(g\) est le point \((0;0)\).

Reste à étudier si ce point est un extrémum local ou non. Pour ce faire, calculons la Hessienne de cette fonction. Nous obtenons:

\[H(x,y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6xy^2 & 1+6x^2y \\ 1+6xy & 2x^3 \end{bmatrix}\]

Ainsi, l’évaluation de la Hessienne au point critique \((0,0)\) donne \(H(0,0)=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1&0\end{pmatrix}\). Son déterminant est négatif, d’où \((0,0)\) est un point selle. La fonction \(g\) n’admet donc ni minimum ni maximum local.

Pour le point \(A\), nous obtenons alors \(H(-1;1)= \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & -2\end{pmatrix}\) de déterminant \(-20\). Ainsi, le déterminant étant négatif, \(A\) est un point selle.

Pour le point \(B\), nous obtenons \(H(2/3;1) = \begin{pmatrix} -10 & 0 \\ 0 & -2\end{pmatrix}\), de déterminant \(20>0\) donc cette fonction admet un extrémum en \(B\). Comme \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}<0\), nous en déduisons que c’est un maximum.

Diagramme TikZ 2

Fonction deux variables