La série proposée est le produit de Cauchy de la série de terme général \(\frac{1}{n^\alpha}\), \(n\geqslant1\), par elle même.

Si \(\alpha>1\), on sait que la série de terme général \(\frac{1}{n^\alpha}\) converge absolument et donc que la série proposée converge.

Si \(0\leqslant\alpha\leqslant1\), pour \(0 < k < n\) on a \(0<k(n-k)\leqslant\frac{n}{2}\left(n-\frac{n}{2}\right)=\frac{n^2}{4}\). Donc \(u_n\geqslant\frac{n-1}{\left(\frac{n^2}{4}\right)^\alpha}\) avec \(\frac{n-1}{\left(\frac{n^2}{4}\right)^\alpha}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{4^\alpha}{n^{2\alpha-1}}\). Comme \(2\alpha-1\leqslant1\), la série proposée diverge.

Si \(\alpha< 0\), \(u_n\geqslant\frac{1}{(n-1)^\alpha}\) et donc \(u_n\) ne tend pas vers \(0\). Dans ce cas, la série proposée diverge grossièrement.

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