Soit \(f:\Rr^4 \to \Rr^2\) défini par \(f(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1^2 + x_2^2 -1, x_3^2 + x_4^2 -1)\), soit \(M = f^{-1}(0,0)\), et soit \(X\) le champ de vecteurs sur \(\Rr^4\) défini par : \[X|_x = x_1 \frac\partial{\partial x_2} - x_2 \frac\partial{\partial x_1} + \alpha ( x_3 \frac\partial{\partial x_4} - x_4 \frac\partial{\partial x_3})\ ,\] où \(\alpha\in \Rr\) est un paramètre.
Montrer que pour tout \((x_1,x_2,x_3,x_4) \equiv x\in M\) le vecteur \(X|_x\) est tangent à \(M\).
Exprimer les vecteurs tangents \(X|_x\), \(x\in M\) dans la carte \[(\theta,\psi) \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta), \cos(\psi), \sin(\psi))\ .\]
Calculer le flot \(\phi_t\) du champ de vecteurs \(X|_x\), \(x\in M\) sur \(M\) (par exemple en utilisant la carte \((\theta,\psi)\)). Est ce que ce champ est complet ?
Déterminer les 6-uplets \((\alpha,t,x_1,x_2,x_3,x_4)\), \((x_1,x_2,x_3,x_4) \in M\), tels que \(\phi_t(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1,x_2,x_3,x_4)\).