Soit \(n\) un entier naturel non nul. Le terme général du développement de \((a+b)^n\) est \(u_k=\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\), \(0\leq k\leq n\). Pour \(0\leq k\leq n-1\), on a :

\[\frac{u_{k+1}}{u_k}=\frac{\binom{n}{k+1}a^{k+1}b^{n-k-1}}{\binom{n}{k}a^kb^{n-k}}=\frac{n-k}{k+1}\frac{a}{b}.\]

Par suite,

\[\frac{u_{k+1}}{u_k}>1\Leftrightarrow\frac{n-k}{k+1}\frac{a}{b}>1\Leftrightarrow(n-k)a>(k+1)b\Leftrightarrow k<\frac{na-b}{a+b}.\]

1er cas. Si \(\frac{na-b}{a+b}>n-1\) (ce qui équivaut à \(n<\frac{a}{b}\)), alors la suite \((u_k)_{0\leq k\leq n}\) est strictement croissante et le plus grand terme est le dernier : \(a^n\).
2ème cas. Si \(\frac{na-b}{a+b}\leq0\) (ce qui équivaut à \(n\leq\frac{b}{a}\)), alors la suite \((u_k)_{0\leq k\leq n}\) est strictement décroissante et le plus grand terme est le premier : \(b^n\).
3ème cas. Si \(0<\frac{na-b}{a+b}\leq n-1\). Dans ce cas, la suite est strictement croissante puis éventuellement momentanément constante, suivant que \(\frac{na-b}{a+b}\) soit un entier ou non, puis strictement décroissante (on dit que la suite u est unimodale).

Si \(\frac{na-b}{a+b}\notin\Nn\), on pose \(k=E(\frac{na-b}{a+b})+1\), la suite \(u\) croit strictement jusqu’à ce rang puis redécroit strictement. Le plus grand des termes est celui d’indice \(k\), atteint une et une seule fois.

Si \(\frac{na-b}{a+b}\in\Nn\), le plus grand des termes est atteint deux fois à l’indice \(k\) et à l’indice \(k+1\).

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