Les quantiles sont à gauche : \(F_{\nu_1,\nu_2;\gamma}\) est le quantile de la loi \(F(\nu_1,\nu_2)\) avec une probabilité \(\gamma\) à gauche.
Deux départements Mesures Physiques d’IUT utilisent le même référentiel de compétences pour évaluer leurs étudiants en statistiques. On souhaite comparer la dispersion des notes dans les deux IUT. On prélève deux échantillons indépendants ; dans chaque IUT, les observations sont supposées indépendantes et de même loi normale. Ce modèle normal est une simplification pédagogique pour des notes bornées. Les données sont :
pour l’IUT 1, \(n_1=10\) notes, un écart-type corrigé \(s_1=5\) points et une moyenne observée \(\bar x_1=12{,}5\) ;
pour l’IUT 2, \(n_2=25\) notes, un écart-type corrigé \(s_2=3\) points et une moyenne observée \(\bar x_2=13{,}2\).
Les variances empiriques corrigées sont calculées avec le diviseur \(n_j-1\). Une différence de dispersion pourrait notamment être liée à des critères d’évaluation plus ou moins différenciants, à une hétérogénéité différente des groupes d’étudiants ou à des méthodes pédagogiques différentes. Les notes seules ne permettent pas d’identifier ces causes.
Avant de réaliser le test, calculer le coefficient de variation pour chaque IUT. Rappel : \(CV=\frac{s}{\bar x}\times100\%\). Que peut-on en conclure intuitivement ?
On souhaite tester si les deux IUT ont la même dispersion de notes. Formuler les hypothèses \(H_0\) et \(H_1\), donner la statistique de test et sa loi sous \(H_0\), puis préciser les conditions d’application.
Au seuil \(\alpha=5\%\), les dispersions sont-elles significativement différentes ? Peut-on en déduire que les enseignants ont des pratiques de notation différentes ?
Construire un intervalle de confiance à \(95\%\) pour le rapport \(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\). Que peut-on en déduire concernant la comparaison des variances ?
Pour aller plus loin :
refaire le test avec \(n_1=30\) et \(n_2=50\), tout en conservant les mêmes écarts-types ;
chercher la plus petite taille \(n_1\geq2\) conduisant au rejet à \(5\%\) si \(n_2=25\) et les écarts-types restent les mêmes ;
discuter les causes possibles d’une différence d’écart-type dans le contexte pédagogique.