(7 points) On considère la suite \((u_n)_{n\in\N}\) définie par \(u_0=0\), \(u_1=1\) et par la relation de récurrence \[u_{n+1}={\frac{1}{2}}(u_n+u_{n-1}).\]
Déterminer une matrice \(A\in M_2(\R)\) telle que pour tout \(n\geq1\) on ait \[\begin{pmatrix}u_{n+1} \\ u_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}u_1 \\ u_0\end{pmatrix}.\] Justifier.
Déterminer le polynôme caractéristique \(P_A(X)\) de \(A\) et calculer ses racines \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\).
Soit \(R_n(X)=a_nX+b_n\) le reste de la division euclidienne de \(X^n\) par \(P_A(X)\). Calculer \(a_n\) et \(b_n\) (on pourra utiliser les racines \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\)).
Montrer que \(A^n=a_nA+b_nI_2\), en déduire que la matrice \(A^n\) converge lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) vers une limite \(A_{\infty}\) que l’on déterminera. Calculer \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n\).