On munit \(C[0,1]\), l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) à valeurs réelles de la norme \(\Vert f\Vert _{\infty }= \displaystyle{ \sup _{x\in [0,1]}\vert f(x)\vert }.\)
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Soit \(\varphi : C[0,1]\rightarrow \Rr\) une application linéaire. On pose \(N(\varphi ) =\displaystyle{ \sup _{f\in C[0,1]; \Vert f \Vert _{\infty}=1}\vert \varphi (f)\vert } .\) Montrer que \(\varphi\) est continue si et seulement si \(N(\varphi )\) est fini.
2
Calculer \(N(\psi )\) lorsque \(\psi (f) = \displaystyle{\int _0 ^1f(t)dt }.\)
3
Posons, pour toute fonction \(f\in C[0,1]\) : \(\varphi (f) = \displaystyle{\int _0 ^\frac{1}{2}f(t)dt -\int _\frac{1}{2}^1f(t)dt}.\) Montrer que \(N(\varphi )=1\).