1
Montrer que \(\forall p\geq 1\), l’application \(\left(\begin{array}{cccl} N_p:&\R^n&\longrightarrow&\R\\ &x&\longmapsto &(\sum_{k=1}^n |x_i|^p)^\frac{1}{p} \end{array}\right)\) est une norme (on utilisera la convexité de \(x^p\)).
2
Pour \(x\in\R^n\) fixé, montrer que \(\lim_{p\rightarrow +\infty} N_p(x)=\max(x_i,1\leq i\leq n)\), et que cela définit une norme, appelée norme infinie, et notée \(N_\infty\).
3
Établir les inégalités suivantes : \[\forall x \in \R^n,\; N_\infty(x)\leq N_1(x)\leq\sqrt{n}N_2(x)\leq nN_\infty(x).\] Que peut-on en déduire ?
4
Dessiner les boules unités des normes 1,2, et \(\infty\) dans \(\R^2\).