\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-type \(\sigma\). Les quantiles sont à gauche : \(t_{\nu;\gamma}\) pour la loi \(St(\nu)\), avec une probabilité \(\gamma\) à gauche du quantile.
Dans une grande entreprise, le salaire moyen annuel des hommes ayant entre 3 et 5 ans d’ancienneté est de 28 000 euros. Pour préparer une négociation sur la parité des salaires hommes-femmes, on fait un sondage sur 10 femmes de même ancienneté qui donne les résultats suivants (en milliers d’euros) : \[24\qquad27\qquad31\qquad19\qquad26\qquad27\qquad22\qquad15\qquad33\qquad21.\] À l’ouverture de la réunion, Monsieur A, délégué du personnel, annonce : Le sondage montre qu’il n’y a pas lieu de penser que le salaire des femmes est différent de celui des hommes . Il est aussitôt interrompu par Madame B, directrice des ressources humaines, qui dit : Pas du tout, le sondage prouve que le salaire des femmes est inférieur à celui des hommes . Qu’en pensez-vous ?
Pour argumenter les réponses, on pourra se poser les questions suivantes pour Monsieur A et Madame B. On considère la moyenne masculine comme une référence fixée à 28 milliers d’euros ; son incertitude n’est pas étudiée ici. On examine les deux démarches en supposant leurs hypothèses alternatives choisies avant l’observation des données.
Que doit-on supposer sur la distribution des salaires des femmes et le prélèvement pour effectuer ici un test de Student exact de la moyenne ?
Si on note \(\mu_0=28\) et \(H_0:\mu=\mu_0\) l’hypothèse nulle de Monsieur A et de Madame B, quelle est l’hypothèse alternative pour chacun ?
Déterminer la variable de décision et sa loi sous \(H_0:\mu=28\).
Déterminer les régions critiques pour un risque de première espèce \(\alpha=5\%\).
Calculer une réalisation de la variable de décision.
Peut-on dire que Monsieur A ou Madame B se trompe ? Argumenter les conclusions dans les deux cas et calculer les \(p\)-valeurs.