Soit \(x_0\in\Rr\setminus\{5\}\). Pour \(x\neq5\),

\[|f(x)-f(x_0)|=\left|\frac{3x-1}{x-5}-\frac{3x_0-1}{x_0-5}\right|=\frac{14|x-x_0|}{|x-5|.|x_0-5|}.\]

Puis, pour \(x\in]x_0-\frac{|x_0-5|}{2},x_0+\frac{|x_0-5|}{2}[\), on a \(|x-5|>\frac{|x_0-5|}{2}[(>0)\), et donc,

\[\forall x\in]x_0-\frac{|x_0-5|}{2},x_0+\frac{|x_0-5|}{2}[,\;|f(x)-f(x_0)|=\frac{28}{(x_0-5)^2}|x-x_0|.\]

Soient \(\varepsilon>0\) puis \(\alpha=\mbox{Min}\{\frac{|x_0-5|}{2},\frac{(x_0-5)^2\varepsilon}{28}\}(>0)\).

\[|x-x_0|<\alpha\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|\leq\frac{28}{(x_0-5)^2}|x-x_0|<\frac{28}{(x_0-5)^2}\frac{(x_0-5)^2\varepsilon}{28}=\varepsilon.\]

On a monté que \(\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha>0/\;(\forall x\in\Rr\setminus\{5\},\;|x-x_0|<\alpha\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon)\). \(f\) est donc continue sur \(\Rr\setminus\{5\}\).

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