Soit \(X_1,\,\cdots,X_n\) des v.a. indépendantes et de même loi \(X\), de densité: \[f(x)=\exp(-(x-\theta)-e^{-(x-\theta)}),\] où \(\theta\) est un nombre réel positif donné.
1
Vérifier que \(f\) est bien une densité de probabilité.
2
On pose la v.a. \(Y=e^{-(X-\theta)}\). Déterminer sa loi et donner son espérance et sa variance.
3
Déterminer, en justifiant, une approximation de loi de la variable aléatoire \[T_n:=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}e^{-(X_i-\theta)}\].