Posons \(\text{Sp}_\Cc A=\left(\lambda_1,\ldots,\lambda_p\right)\). On sait que pour tout entier naturel \(n\), \(\text{Tr}(A^n) =\lambda_1^n+...+\lambda_p^n\).

Soit \(\lambda\) un nombre complexe.

Si \(\lambda= 0\), la série entière associée à la suite \((\lambda^n)_{n\in\Nn}\) est de rayon infini et pour tout nombre complexe \(z\), \(\sum_{n=0}^{+\infty}\lambda^nz^n=1=\frac{1}{1-\lambda z}\).

Si \(\lambda\neq0\), la série entière associée à la suite \((\lambda^n)\) est de rayon \(\frac{1}{|\lambda|}\) et pour \(|z| <\frac{1}{|\lambda|}\), \(\sum_{n=0}^{+\infty}\lambda^nz^n=\frac{1}{1-\lambda z}\).

Soit \(\rho=\text{Max}\left(|\lambda_1|,\ldots,|\lambda_p|\right)\) (\(\rho\) est le rayon spectral de la matrice \(A\)) et \(R=\frac{1}{\rho}\) si \(\rho\neq0\) et \(R = +\infty\) si \(\rho= 0\).

Pour \(|z| < R\),

\[\begin{align*}\ensuremath \sum_{n=0}^{+\infty}\text{Tr}(A^n)z^n&=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\sum_{k=1}^{p}(\lambda_kz)^n\right) =\sum_{k=1}^{p}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}(\lambda_kz)^n\right)\;(\text{somme de}\;p\;\text{séries convergentes})\\ &=\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{1-\lambda_kz}. \end{align*}\]

Il est alors clair que \(R\) est le rayon de convergence de la série entière proposée (développement en série entière d’une fraction rationnelle).

Si de plus, \(0< |z| < R\), \(\sum_{n=0}^{+\infty}\text{Tr}(A^n)z^n=\frac{1}{z}\left(\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{\frac{1}{z}-\lambda_k}\right)=\frac{\chi_A'\left(\frac{1}{z}\right)}{\frac{1}{z}\chi_A\left(\frac{1}{z}\right)}\) (décomposition usuelle de \(\frac{P'}{P}\)).

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