Il s’agit de montrer qu’un endomorphisme d’un espace euclidien \(E\) qui conserve l’orthogonalité est une similitude.

On peut raisonner sur une base orthonormée de \(E\) que l’on note \(\mathcal{B}=(e_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\). Par hypothèse, la famille \((f(e_i))_{1\leqslant i\leqslant n}\) est orthogonale. De plus, pour \(i\neq j\), \((e_i+e_j)|(e_i-e_j)=\|e_i\|^2-\|e_j\|^2= 0\) et donc \(f(e_i+e_j)|f(e_i-e_j) = 0\) ce qui fournit \(\|f(e_i)\| =\|f(e_j)\|\). Soit \(k\) la valeur commune des normes des \(f(e_i)\), \(1\leqslant i\leqslant n\).

Si \(k = 0\), tous les \(f(e_i)\) sont nuls et donc \(f\) est nulle.

Si \(k\neq0\), l’image par l’endomorphisme \(\frac{1}{k}f\) de la base othonormée \(\mathcal{B}\) est une base orthonormée. Donc l’endomorphisme \(\frac{1}{k}f\) est un automorphisme orthogonal de \(E\) et donc l’endomorphisme \(\frac{1}{k}f\) conserve la norme.

Dans tous les cas, on a trouvé un réel positif \(k\) tel que \(\forall x\in E\), \(\|f(x)\| = k\|x\|\).

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