Suivant l’indication, le plan tangent à la surface d’équation \(z=4x^2 +y^2\) au point \((x_0,y_0,z_0)\) est donné par l’équation \[\begin{align*} z&=z_0 +8x_0 (x-x_0) + 2y_0 (y-y_0) \\ &= 8x_0x +2y_0 y +z_0 - 8x^2_0 - 2y^2_0= 8x_0x +2y_0 y - z_0 \end{align*}\] d’où par \[\begin{equation} z-8x_0x -2y_0 y = z_0. \label{tang2} \end{equation}\] Pour que ce plan soit parallèle au plan d’équation \(x+2y+z=6\) il faut et il suffit que \((1,2)=(-8x_0, -2y_0)\) d’où que \(x_0=-1/8\) et \(y_0=-1\). Par conséquent, le point cherché sur le paraboloı̈de \(z=4x^2 +y^2\) est le point \((-1/8,-1,17/16)\). De même, pour que le plan [tang2] soit parallèle au plan d’équation \(3x+5y-2z=3\) il faut et il suffit que \((3/2,5/2)=(8x_0, 2y_0)\) d’où que \(x_0=3/16\) et \(y_0=5/4\), et le point cherché sur le paraboloı̈de \(z=4x^2 +y^2\) est alors le point \((3/16,5/4,9/64+25/16)\) =\((3/16,5/4,109/64)\).

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