Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\R\) ou \(\C\).
Vérifier que l’application \((\lambda,x)\to \lambda x\) est continue; que \((x,y)\to x+y\) est lipschitzienne ainsi que l’application \(x\to\Vert x\Vert\); et que les translations et les homothéties sont des homéomorphismes de \(E\).
Montrer que la boule unité ouverte est homéomorphe à \(E\) tout entier (considérer l’application \(x\to {x\over 1-||x||}\)).
Montrer que deux boules ouvertes de \((E,||.||)\) sont homéomorphes entre elles.
Montrer que le seul sous-espace ouvert de \(E\) est \(E\) lui-même, et que tout sous-espace propre est d’intérieur vide dans \(E\).
Montrer que l’adhérence d’un sous-espace vectoriel est encore un sous-espace vectoriel; en déduire qu’un hyperplan de \(E\) est fermé ou partout dense dans \(E\).