Observons tout d’abord que : \[f(z) =\frac{1}{(z-1)(z-2)}= \frac{1}{z-2} +\frac{1}{1-z}.\] On a \[\begin{aligned} \frac{1}{1-z}=\sum_{n\geq 0}z^n \quad &\text{pour} \;\; |z|<1 \\ \frac{1}{1-z}=-\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}} =-\frac{1}{z}\sum_{n\geq 0}z^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1} z^n &\quad \text{pour} \;\; |z|> 1.\end{aligned}\] De la même manière \[\frac{1}{z-2}=-\sum_{n\geq 0}\frac{1}{2^{n+1}}z^n \quad \text{si} \;\; |z|< 2 \;\; \text{et} \;\; \frac{1}{z-2}=\sum_{n=-\infty} ^{-1}\frac{1}{2^{n+1}}z^n \quad \text{si} \;\; |z|>2.\] On en déduit les expressions des séries de Laurent en \(0\) dans les trois couronnes centrées à l’origine. En \(z=1\) et \(z=2\), \(f\) a des pôles simples. D’où \[\mathrm{Res} (f,1) =\lim_{z\to 1} (z-1) f(z) = -1 \quad \text{et} \quad \mathrm{Res} (f,2) =\lim_{z\to 2} (z-2) f(z) = 1.\] Déterminons encore la série de Laurent \(f\) en \(1\): \[f(z) = \frac{1}{z-1}\frac{1}{(z-1)-1} =\frac{1}{z-1} (-1) \sum _{n\geq 0} (z-1)^n = -\sum_{n=-1}^\infty (z-1)^n\] pour \(|z-1|<1\).

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