Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Structure vectorielle
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Description de la structure vectorielle de $\mathbb{K}^n$, règles de calcul. | On fait le lien avec les règles habituelles du calcul sur les vecteurs du plan et de l’espace en géométrie. On pourra faire remarquer que certains ensembles rencontrés dans d’autres chapitres (ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$, ensemble des suites vérifiant une relation de récurrence linéaire, ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire, ensemble de matrices,…) possèdent eux aussi cette structure vectorielle, sans qu’aucune connaissance relative à la notion générale d’espace vectoriel ne soit requise à ce stade. |
Combinaison linéaire d’une famille finie de vecteurs. Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{K}^n$. | On entend par sous-espace vectoriel un ensemble de vecteurs stable par combinaison linéaire et contenant le vecteur nul. |
Intersection d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels. | |
Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs. Famille génératrice finie d’un sous-espace vectoriel. Famille libre finie, famille liée finie. | On utilise la notation $\mathrm{Vect}(x_1, x_2, \ldots x_k)$. |
Bases d’un sous-espace vectoriel. | On admet l’existence de bases pour tout sous-espace vectoriel autre que l’espace nul. |
Coordonnées d’un vecteur par rapport à une base. | Une interprétation matricielle est ici pertinente, amenant à parler de la matrice colonne associée au vecteur, puis de la matrice d’une famille de vecteurs. |
Base canonique de $\mathbb{K}^n$. | On veillera à ne pas travailler systématiquement dans la base canonique en mettant en évidence l’intérêt, dans certains contextes, de choisir une autre base. |
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Dans \(\mathbb{R}^3\), les vecteurs suivants forment-ils une base ? Sinon décrire le sous-espace qu’ils engendrent ...
exo7 988
Dans \(\mathbb{R}^3\), comparer les sous-espaces \(F\) et ...
exo7 989
Dans \(\mathbb{R}^4\), on considère les familles de vecteurs suivantes
...
exo7 991
On désigne par \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie. Les p ...
exo7 992
Soit \(E=\Rr_n[X]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à ...
exo7 993
Dans l’espace vectoriel \(\mathcal{P}_2\) des polynômes de degré \(\leq 2\), on c ...
exo7 996
Déterminer pour quelles valeurs de \(t\in {\Rr}\) les vecteurs ...
Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^4$
On se place dans \(\mathbb{R}^4\). On considère ...
Vrai/Faux sur les espaces vectoriels
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.