Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
c) Droites et cercles dans le plan
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Vecteur directeur d’une droite. Représentation paramétrique d’une droite. Vecteur normal à une droite. Équation cartésienne d’une droite obtenue à l’aide d’un vecteur normal. Coefficient directeur (ou pente) d’une droite. Équation cartésienne d’un cercle défini par son centre et son rayon. | Une droite est déterminée par la donnée d’un point et d’un vecteur non nul : un tel vecteur est appelé vecteur directeur de la droite. |
exo7 7088
Soit \(\mathcal D\) une droite, \(A\) et \(B\) d ...
exo7 7091
On donne un cercle \(\mathcal C\) (de centre \(O\)), un point ...
exo7 7097
Soit \(\mathcal C\) un cercle et \(D\) une droite. Construire une droite parallèl ...
exo7 7098
On donne deux droites parallèles et un point \(A\) entre les deux droites. Dénombrer et tracer les cercles passant ...
exo7 7099
On donne deux droites parallèles et un point \(A\) entre les deux droites. Dénombrer et tracer les cercles passant ...
exo7 7102
On se donne un carré, et on cherche à construire un carré de même centre, aux côtés parallèles, et d’aire deux fois plus petite, comme ci-dessous: ...
exo7 7105
Sur les côtés \([AB]\) et \([BC]\) d’un carré direct ...
exo7 7114
Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\), ...
exo7 7115
Soit \(ABC\) un triangle direct non isocèle rectangle. Soient \(ARB\), ...
exo7 7117
Soient \(ABCD\) et \(AB'C'D'\) des carrés de même orientation et de c ...
exo7 7119
On donne un segment \([AB]\) et un réel \(\alpha \in ]-\pi,\pi[\). On suppose que ...
exo7 7120
Construire un octogone convexe régulier dont un des côtés est un segment \([AB]\) donné.
exo7 7123
Soient \(\mathcal C_1\) et \(\mathcal C_2\) deux cercles sécants en ...
exo7 7124
Les bissectrices intérieure et extérieure en \(A\) d’un triangle \(ABC\) non isoc ...
exo7 7125
Soient \(\mathcal C\) et \(\mathcal C'\) deux cercles tangents en un point ...
exo7 7126
Soit \(ABC\) un triangle direct, et \(P\), \(Q\) ...
exo7 7129
Soient \(\mathcal C_1\) et \(\mathcal C_2\) deux cercles se coupant en ...
exo7 7130
On donne deux segments \([AB]\) et \([CD]\) non parallèles et de longueur différe ...
exo7 7131
Soit \(ABC\) un triangle non rectangle et \(A'\), ...
exo7 7134
Soit \(\Gamma\) un cercle, \(O\) son centre et ...
exo7 7135
Soit \(\mathcal D\) une droite et \(A\) et \(B\) ...
exo7 7136
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe. On note \(\mathcal B_A\) (resp. ...
exo7 7137
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe. Que dire du quadrilatère formé par les intersections des médiatrices des qu ...
exo7 7138
On considère un carré \(ABCD\) et on place quatre points \(E\), ...
exo7 7141
Soit \(\mathcal C\) un cercle et \(P\) un point du plan.
exo7 7142
Soient deux cercles se coupant en deux points distincts \(A\) et \(B\), et ...
exo7 7143
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\), et ...
exo7 7168
Soit \(ABC\) un triangle non isocèle en \(A\). La bissectrice intérieure ...
exo7 7189
Soit \(E\) l’ensemble des droites du plan. Le parallélisme et l’orthogonalité sont-elles des relations réflexives, ...
exo7 7250
Un diagramme de Voronoï est une famille de parties du plan (ou de l’espace, mais dans cet exercice on se limitera au plan) et de points as ...
exo7 7251
Soit \((A_i, P_i)_{i \in I}\) un diagramme de Voronoï. Si \(i, j \in I\) avec ...
exo7 7252
Que dire de la frontière entre deux cellules de Voronoï ?
exo7 7267
Soit \(ABC\) un triangle. Notons \(\Delta_A\), ...
exo7 7269
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté \(a\). Soit ...
exo7 7271
Une translation transforme-t-elle une droite en une droite qui lui est parallèle ?
exo7 7274
On rappelle que l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\lambda\), ...
exo7 7276
Étant données deux demi-droites \([OA)\) et \([OB)\), on veut construire la bisse ...
exo7 7277
Comment construire, au compas seul, le symétrique d’un point par rapport à une droite? Comment construire à l ...
exo7 7280
Montrer que pour tout \(\theta \in \Rr\), on a ...
exo7 7282
Étant données trois longueurs \(a\), \(b\) et ...
exo7 7283
Étant données deux longueurs \(a\) et \(b\), construire à la règle et au compas l ...
exo7 7284
Soit \(\mathcal{C}\) un cercle de centre \(O\) et de rayon ...
exo7 7285
Si \(\Omega\) est un point et si \(\lambda\) est un réel non nul, l’inversion ...
exo7 7287
On considère quatre points distincts \(A\), ...
exo7 7288
La notion de «construction au compas» est un peu ambiguë. On distingue:
le compas traçant, qui permet, à partir de deux po ...
exo7 7289
La question de trouver le centre d’un cercle à la règle et au compas a été étudiée à l’exercice [centre-regle-compas ...
exo7 7422
Soit \(a\) et \(b\) deux réels non nuls distincts. Dans un plan affine muni d’un ...
exo7 7424
Dans l’espace affine \(\Rr^2\), on considère le triangle \(ABC\). Choisir un repè ...
exo7 7429
On suppose savoir tracer la parallèle à une droite donnée passant par un point donné. On peut utiliser un compas mais seulement pour reporter des l ...