Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
c) Continuité
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Continuité en un point. Continuité à droite et à gauche. Opérations, composition. Prolongement par continuité. Continuité sur un intervalle. | |
Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. | Ce résultat est admis. |
Théorème des valeurs intermédiaires. | On peut présenter une idée de la démonstration en s’appuyant sur un principe de dichotomie. |
exo7 782
Soit \(f \in C^0 (\Rr)\). On définit \({g} : {\Rr^*} \to {\Rr}\), ...
exo7 783
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans ...
exo7 784
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue strictement croissante telle que : ...
exo7 785
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue, n’admettant qu’un nombre fini de zéros sur ...
exo7 787
Soit \(f\) continue sur \([0,\pi ]\) telle que ...
exo7 791
Soit \((a,b)\in {\Rr}^{2}\) (\(a<b\)), et ...
exo7 793
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans \({\Rr}\) ...
exo7 796
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{-nx}}{1+x}dx.\] Soit ...
exo7 798
Dire (avec justification) si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
exo7 799
Soit \(\varphi\) une fonction bornée sur \([a,b]\) ; comparer les assertions suiv ...
exo7 800
Soit \(f\) une fonction continue et strictement croissante de \([a,b]\) sur ...
exo7 801
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions intégrables sur ...
exo7 842
Soient \(f\) et \(g\) continues de \([0,1]\) dan ...
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...
Limite et continuité en un point
Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}^2\) telle que ...
Optimisation avec contrainte
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Optimisation d'une fonction d'efficacité sur un disque fermé
Dans une zone militaire, l’efficacité de détection d’un radar est modélisée par la fonction : ...
Prolongement continu et dérivées partielles en l'origine
On définit \(f : \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \to \mathbb{R}\) par ...