Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
d) Bijections continues
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Théorème de la bijection : une fonction $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ réalise une bijection de $I$ sur l’ensemble $f(I)$, qui est un intervalle, et sa réciproque est continue et strictement monotone sur $f(I)$. | ⇌ Algorithme de dichotomie sur des exemples d’équations de type $f(x) = 0$. |
Définition, monotonie et représentation graphique de la fonction arctan. | Aucune formule n’est à connaitre excepté l’imparité de la fonction arctan. |
exo7 1222
Pour tout \(x \in ] 1, +\infty [\) on pose \(f (x) =x \ln (x) -x .\) Montrer que ...
exo7 1733
\(I\subset {\Rr}^{+*}\) un intervalle de ...
exo7 191
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) définie par \(f(x) = 2x/(1+x^2)\).
exo7 3914
Le langage “Pascal” ne dispose pas des fonctions \(\arcsin\) et \(\arccos\). Défi ...
exo7 3918
Simplifier \(\arctan \frac {1-x}{1+x}\).
exo7 3920
Simplifier \(\cos(3\arctan x)\) et \(\cos^2\left(\frac 12\arctan x\right)\).
exo7 3925
Résoudre :
exo7 3927
Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ \arctan x + 2\arctan\bigl(\sqrt{1+x^2} - x\bigr) = \frac \pi2\).
exo7 3979
On note \(E\) l’ensemble des fonctions \(f\) de classe ...
exo7 3991
Soit \(f : {[a,b]} \to {[c,d]}\) convexe, bijective, croissante. On définit les suites ...
exo7 4037
Montrer que l’équation \(\tan x = x\) possède une unique solution \(x_n\) dans ...
exo7 4050
Soit \(f : {[-1,+\infty[} \to {[-e^{-1},+\infty[}, x \mapsto {xe^x.}\) Montrer que ...
exo7 4227
Soit \(f : {[a,b]} \to {[c,d]}\) continue, bijective, strictement croissante.
Calculer ...
exo7 4549
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions \([a,b]\to[c,d]\) continues, bijectives, st ...
exo7 4723
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) continue, \(u_0 \in {[0,1]}\) et ...
exo7 5106
Dans chacun des cas suivants, déterminer \(f(I)\) puis vérifier que \(f\) réalise ...
exo7 5246
Soit \(u_n\) l’unique racine positive de l’équation \(x^n+x-1=0\). Etudier la sui ...
exo7 534
Montrer que pour \(n\geq1\), l’équation \(x^n+x^{n-1}+x^2+x-{n+1 \over n}=0\) adm ...
exo7 5402
Soit \(f\) une application continue sur un intervalle \(I\) de ...
exo7 5437
Montrer que l’équation \(\tan x=x\) a une unique solution dans l’intervalle ...
exo7 5454
Soit \(a\) un réel strictement positif et \(f\) une application de classe ...
exo7 604
Montrer que \(\forall n\in \Nn^{*},\exists !x_{n}\in [n,n+1[\) solution de ...
exo7 6116
Montrer que \(\Zz\) et \(\Qq\) (munis de la topologie induite par celle de ...
exo7 651
Donner un exemple de fonction continue sur \([0,1]\) non lipschitzienne, puis de fonction continue en un seul poin ...
exo7 671
Soit \(f\) la fonction réelle à valeurs réelles définie par ...
exo7 676
Montrer que l’application \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) définie par ...
exo7 682
Soit \(f : [0,1]\longrightarrow \R\) définie par \(f(0)=0\), ...
exo7 691
Soit la fonction \(f:\lbrack -1,+\infty\lbrack\to\R\), définie par ...
exo7 6974
Soit \(z=x+iy\) un nombre complexe, où \(x=\Re z\) et ...
exo7 743
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation: ...
exo7 744
Soient les fonctions \(f:x\mapsto\arcsin(\sin x)\) et ...
exo7 749
Résoudre les équations suivantes:
exo7 751
Simplifier les expressions suivantes : ...
exo7 752
Vérifier ...
exo7 813
Soit \(f:[a,b]\rightarrow \R\) une fonction strictement croissante et continûment dérivable. On considère les deux ...