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On considère la suite réelle définie par : \[x_0=1 \quad\mbox{et} \quad x_{n+1}= \sqrt{2x_n+1}.\]

Montrer \(\forall n \in \N,\: \sum_{k=0}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\).

Montrer que pour tout entier \(n\) positif, l’entier \(10^n - (-1)^n\) est divisi ...

Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite de nombres réels définie par \(u_0=0\) et pour t ...

Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite de nombres réels définie par \(u_0=1\), ...

Montrer que pour tout \(n\in \N\), la somme des \(n\) premiers entiers positifs i ...

Montrer : \(\forall u\in \R, \forall n\in \N, |\sin(nu)|\leq n|\sin(u)|\).

Soit \(a \in \R_+\). Montrer ...

Soit \(a\in]0,\pi/2[\), et définissons une suite réelle par \(u_0=2\cos(a)\) et p ...

Définissons une suite par \(u_0=1\) et pour tout \(n \in\N\), ...

Soit \(A\) une partie de \(\N^*\) contenant ...

Démontrer que tout entier \(n\geq 1\) peut s’écrire comme somme de puissances de deux distinctes.

Démontrer que tout entier \(n\geq 1\) peut s’écrire de façon unique sous la forme ...

Montrer que pour tout \(n>1\) on a l’inégalité ...

Montrer que pour tout entier \(N\geq 2\), ...

Montrer que pour tous \(a,b > 0\) distincts et tout \(n >1\), on a l’inégal ...

Parmi les énoncés suivants, lesquels permettent d’en déduire que \(P_n\) est vraie pour tout ...

On définit une suite \((C_n)_{n\in\N}\) par \(C_0=1\) et pour tout naturel ...

Soit \(x\) un réel tel que \(x+\frac{1}{x}\) soit entier. Montrer que pour tout ...

Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite réelle définie par \(u_0=1\) et pour tout ...

Soit \(n\in \N^*\). On trace \(n\) cercles dans le plan. Montrer que l’on peut co ...

Déterminer les valeurs de \(n\) pour lesquelles le nombre ...

Calculer par récurrence : \[I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{du}{\cos ^{n}u}.\]

Démontrer par récurrence les résultats suivants :

Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels tels que ...

Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels tels que ...