Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
a) Écriture algébrique des nombres complexes
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Nombres complexes. Écriture algébrique. Parties réelle et imaginaire. Propriétés élémentaires de $\mathrm{Re}$ et $\mathrm{Im}$. | |
Représentation géométrique d’un nombre complexe. Affixe d’un point, d’un vecteur. Interprétation géométrique de la somme de deux complexes. | L’utilisation des nombres complexes pour résoudre des problèmes de géométrie n’est pas un objectif du programme. |
Conjugué d’un nombre complexe. Interprétation géométrique. Propriétés de la conjugaison. | On fait ressortir l’efficacité du formalisme de la conjugaison (par exemple pour montrer qu’un nombre complexe est réel ou imaginaire pur). |
Module d’un nombre complexe. Interprétation géométrique. Propriétés du module : multiplicativité, inégalité triangulaire. | Suivant les contextes, on choisit la formulation adéquate : $\lvert z \rvert = \sqrt{z\bar{z}}$ ou $\lvert a + \mathrm{i}b \rvert = \sqrt{a^2 + b^2}$. |
Complexes et matrices
L’ensemble des nombres complexes est défini par \(\mathbb{C}=\{a+i b / a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\}\) avec ...
exo7 1
Mettre sous la forme \(a+ib\) (\(a,b \in \Rr\)) les nombres : ...
exo7 100
Étudier la suite \((z_{n})_{n\in \Nn}\) définie par: \(z_{0}=4,\) ...
exo7 101
On définit une fonction \(f\) de \(\mathbb C-\{i\}\) dans ...
exo7 102
Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb C\) dans ...
exo7 108
Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose : \(\Leftrightarrow ,\ \Leftarrow,\ \Rightarrow.\) ...
exo7 12
Écrire sous la forme partie réelle-partie imaginaire, puis sous la forme module-argument le nombre complexe : ...
exo7 1346
Traduire en termes d’homomorphisme de groupes les propriétés traditionnelles suivantes :
exo7 1364
Soit \(\Zz[i] = \left\{ a + ib, (a, b) \in \Zz^2\right\}\).
exo7 1367
On définit \(A=\left\{a+jb:a,b\in \Zz\right\}\) où \(j=\exp(\frac {2i\pi}3)\). ...
exo7 16
Calculer \((1+i\sqrt{3})^5 + (1-i\sqrt{3})^5\) et ...
exo7 1843
\(S=\{ z\in \Cc ; \vert z\vert = 1\} .\) Soit \(f\) l’application de ...
exo7 2
Écrire les nombres complexes suivants sous la forme \(a+ib\) (\(a,b \in \Rr\)) : ...
exo7 2004
Déterminer les \(z\in \Cc\) tels que \(z, z^{2}, z^{4}\) soient alignés.
exo7 2005
Si \(a\) et \(b\) sont les affixes de deux sommets opposés d’un carré, calculer l ...
exo7 2007
Pour \(a, b, c\) trois nombres complexes tels que \(b\neq c\), on note ...
exo7 2009
Soient \(A, B, C, D\) quatre points distincts du plan tels que ...
exo7 201
On appelle demi-plan de Poincaré l’ensemble \(\mathcal{P}\) des nombres complexes ...
exo7 2041
Dans le plan cartésien identifié à \(\Cc\), un point \(M\) est représenté par son ...
exo7 24
Montrer que si \(\left|z\right| \leq k <1\) alors ...
exo7 25
Montrer algébriquement et géométriquement que si \(\left|z\right| = 1\) alors ...
exo7 264
Montrer que si \(r\) et \(s\) sont deux nombres entiers naturels somme de deux ca ...
exo7 27
Calculer les racines carrées de \(1,\ i,\ 3+4i,\ 8-6i,\) et \(7+24i\).
exo7 2871
Soit \(u_n\), \(n\geq1\) des nombres complexes. Montrer: ...
exo7 2877
On suppose \(\sum_{n\geq1} |u_n|^2 < \infty\). Montrer que les deux séries ...
exo7 2878
Montrer que \(\prod_{k=1}^\infty (1 + \frac ik)\) diverge tandis que ...
exo7 2924
Soient \(u,v \in \C\). Montrer que \(|u+v| + |u-v| \ge |u| + |v|\), et dé ...
exo7 2925
Montrer que toute droite du plan admet pour équation complexe : \(az + \overline{az} = b\) avec ...
exo7 2927
Soient \(a,b \in \mathbb{U}\) distincts et \(z \in \C\). On note ...
exo7 2929
Soient \(a,b,c,d \in \C\) tels que ...
exo7 2930
Déterminer les nombres \(z \in \C\) tels que \(\dots\)
exo7 2932
Soient \(u,v,w\) trois complexes unitaires tels que \(u+v+w = 0\). Montrer que ...
exo7 2933
Trouver les complexes \(z \in \C^*\) tels que \(\left|z + \frac 1z\right| = 2\). ...
exo7 2935
Soient \(a,b,c,d \in \C\) deux à deux distincts. Montrer que si deux des rapports ...
exo7 2937
Soient \(a,b,c \in \C\), affixes de points \(A,B,C\) non alignés. Ca ...
exo7 2938
Soient \(u,v \in \C\) tels que \(u+v \ne 0\). On pose ...
exo7 2945
Soit \(z \in \C\) et \(p,q\) ses racines carrées. A quelle condition ...
exo7 2950
Soient \(u,v \in \C\). Montrer que \(|u+v|^2 + |u-v|^2 = 2|u|^2 + 2|v|^2\).
exo7 3261
Soient \(a,b,c \in \C\).
Montrer que ces nombres sont en progression géométrique ...
exo7 34
On note \(j = e^{2 \pi \over 3}.\)
exo7 3473
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\C)\) de rang 1. On écrit \(M = P + iQ\) avec ...
exo7 3530
On considère la matrice de \(M_n(\C)\), ...
exo7 36
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes :
exo7 4
Placer dans le plan cartésien, les points d’affixes suivantes : ...
exo7 4363
Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...
exo7 4410
Calculer \(\sup\{|\cos z| \text{ tel que } |z|\le 1\}\) et ...
exo7 4411
Soient \(M,M'\) deux points du plan d’affixes \(z = x+iy\) et ...
exo7 5
Mettre chacun des nombres complexes suivants sous la forme \(a+ib,\) \(a\in\Rr\) ...
exo7 5081
Résoudre le système ...
exo7 5107
Pour \(z\neq i\), on pose \(f(z)=\frac{z+i}{z-i}\). Montrer que ...