Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
Algèbre – Polynômes réels
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En première année, les polynômes sont exclusivement définis comme fonctions polynomiales de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Le théorème de d’Alembert - Gauss, sous une forme ou une autre, est hors programme. Les notions de polynôme en tant qu’objet formel et de fraction rationnelle sont hors programme.
exo7 7322
Soit \(P = a_0 + a_1X + \cdots + a_nX^n \in \Z[X]\). On veut déterminer si \(P\) ...
exo7 7333
Soit \(p=13\). Trouver une racine \(c\) de ...
exo7 7337
Les polynômes symétriques élémentaires en \(n\) indéterminées sont par définition ...
exo7 7339
Calculer \(P(2)\) où \(P=3x^4-x^2-16x-14\) par la méthode de Hörner. Effectuer la ...
exo7 7340
Le but de l’exercice est de factoriser le polynôme \(x^4 + 4x^3 - 81x^2 -16x + 308\).
exo7 7341
Soit \(P=3x^5 - 6x^4 + x^3 + 5x^2 - 3x - 4\).
exo7 7342
Le but de l’exercice est de déterminer une valeur approchée de la racine cubique réelle \(c\) de ...
exo7 7379
Calculer, avec l’algorithme de Hörner appliqué au polynôme \(P(x)=x^2-7\), une valeur approchée à ...
exo7 7542
Soit \(d\) un entier naturel. Montrer qu’une suite de polynômes ...
exo7 7820
Montrer que le polynôme quadratique à coefficients complexes avec \(a\not =0\) ...
exo7 786
Soit \((a,b)\in (\Nn^{*})^{2}\), \(n\in \Nn^{*},\) montrer que le polynôme ...
exo7 922
Soit \(E = \R[X]\) l’espace vectoriel des polynômes. On définit ...
Factorisation d'un polynôme
Soient les polynômes \(P,Q \in \R[X]\) définis par ...
Factorisation de polynôme et décomposition en éléments simples
On pose le polynôme \[Q(X)=X^3-(\sqrt{2}+5)X^2+(1+5\sqrt{2})X-5.\]
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice
...
Multiplicité d'une racine
Déterminer l’ordre de multiplicité de la racine 1 du polynôme \[P(X)=X^5-5 X^4+14 X^3-22 X^2+17 X-5\]
En d ...
Multiplicité d'une racine et factorisation d'un polynôme
Déterminer l’ordre de multiplicité de la racine \(x_0\) du polynôme \(P\), et en ...
Multiplicité et factorisation
Soient \(a\) et \(b\) des nombres réels. Déterminer tous les polynômes de ...
Polynômes et division euclidienne
Déterminer les racines complexes de \(P(X)=X^4-4X^3+5X^2-2X\) ainsi que leur ordre de multiplicité.
Polynômes et décomposition en facteurs irréductibles
L’enjeu de cet exercice est la factorisation du polynôme \(R(X)=X^9+X^6+X^3+1\).
Racine multiple
Montrer que le polynôme \(P(X)=1+X+\frac{X^2}{2 !}+\frac{X^3}{3 !}+\ldots+\frac{X^n}{n !}\) n’a pas de racine mult ...
Reste de division euclidienne
On cherche, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), le reste de la division euclidienne du polynôme ...