Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
Analyse 5 – Suites réelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Suites majorées, minorées, bornées. Suites monotones. | |
Convergence, divergence. Limite infinie. | La définition d’une limite par $(\varepsilon, n_0)$ est présentée, mais aucune technicité ne pourra être exigée en la matière. |
Comparaison de la convergence et de la limite d’une suite $(u_n)$ avec celles des deux suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$. | Utilisation de cette comparaison pour justifier une divergence. La notion générale de suite extraite est hors programme. |
Opérations sur les limites. | |
Résultats fondamentaux sur les limites et inégalités : • Signe d’une suite de limite non nulle. • Passage à la limite dans une inégalité large. • Théorème d’encadrement, dit « des gendarmes », et extension aux limites infinies. | |
Théorème de la limite monotone. | Toute suite réelle monotone admet une limite finie ou infinie. |
Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes. | |
Exemples d’étude de suites du type $u_{n+1} = f(u_n)$. | Un plan d’étude détaillé sera toujours proposé. Il pourra commencer par la détermination d’un intervalle stable. Aucun théorème général relatif à ce type de suites n’est exigible des étudiants. L’étude numérique (par itération) et graphique sont présentées comme outils d’étude et de formation de conjectures. L’objectif est alors l’étude de la monotonie et de la convergence de telles suites dans les cas simples de fonctions $f$ monotones. |
Croissances comparées entre les suites factorielle, puissance ($n^\alpha$ avec $\alpha > 0$), géométriques ($a^n$ avec $a > 1$). | |
Suites équivalentes, notation $u_n \sim v_n$. L’équivalence est compatible avec la multiplication, la division et l’élévation à une puissance constante. Utilisation des équivalents pour la recherche de limites. | Le développement sur les équivalents doit être modeste et se limiter aux suites dont le terme général ne s’annule pas à partir d’un certain rang. |
exo7 2100
Calculer la limite des suites suivantes :
exo7 2334
On définit \[F(x) = \int_0^x {\sin t\over t}\ dt\] et pour tout \(n \in \Nn\), o ...
exo7 2371
Montrer qu’une suite convergente et sa limite forment un ensemble compact.
exo7 2573
(7 points) On considère la suite \((u_n)_{n\in\N}\) définie par ...
exo7 2621
Pour chacune des suites \((u_n)_n\) dans le plan \(\R^2\) ci-dessous, placer quel ...
exo7 2649
On considère une suite \((u_n)_n\), de terme général \(u_n\in\R^2\).
exo7 2721
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 \in ]0,1[\) donné et ...
exo7 2871
Soit \(u_n\), \(n\geq1\) des nombres complexes. Montrer: ...
exo7 2872
Pour quelles valeurs de \(p\) (réel) \(\prod_{k=1}^\infty (1 + k^{-p})\) converge ...
exo7 2877
On suppose \(\sum_{n\geq1} |u_n|^2 < \infty\). Montrer que les deux séries ...
exo7 2878
Montrer que \(\prod_{k=1}^\infty (1 + \frac ik)\) diverge tandis que ...
exo7 3068
Résoudre ...
exo7 3073
On note \(x_n = (\sqrt3 + 1)^{2n+1}\), \(y_n = (\sqrt3 - 1)^{2n+1}\), et ...
exo7 3589
Soit \((M_n)\) une suite de points dans le plan, de coordonnées \((x_n,y_n)\) déf ...
exo7 3848
Soit \(f : \R \to \R\) continue telle que ...
exo7 3886
Montrer que : \(\forall\ x > 0,\ x - \frac {x^2}2 < \ln(1+x) < x\).
En déduire ...
exo7 3911
Simplifier \(\sum_{k=0}^{n-1} 3^k\sin^3\left(\frac\alpha{3^{k+1}}\right)\).
exo7 3912
Calculer \(\mathrm{cotan} x - 2\mathrm{cotan}2x\). Simplifier ...
exo7 3963
Montrer que : \(\forall\ x \ge -1,\ \ln(1+x) \le x\).
exo7 3991
Soit \(f : {[a,b]} \to {[c,d]}\) convexe, bijective, croissante. On définit les suites ...
exo7 3996
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R}\) concave, dérivable, croissante.
exo7 4025
On pose \(u_{n,p} = \left({\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \Bigl(1+\frac kn\Bigr)^{1/p}}\right)^p\). Trouver : ...
exo7 4040
Soit \(f(x) = \frac{\ln|x-2|}{\strut\ln|x|}\). Montrer que pour tout \(n\in\N^*\) ...
exo7 4041
Soit \(u_n\) une suite réelle telle que pour tout \(n\) on ait ...
exo7 4043
Pour tout \(n\) entier naturel non nul, on donne ...
exo7 4052
Soit \(\alpha \in {]0,1[}\).
exo7 4080
Soient \(u,v,w\) trois applications bornées et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4228
Trouver \(\lim_{n\to\infty} \frac 1{n+1} + \frac 1{n+2} + \dots + \frac 1{kn}\) pour ...
exo7 4230
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4231
Montrer que : \(\forall\ x \ge 0,\ x-\frac{x^2}2 \le \ln(1+x) \le x\).
exo7 4232
Soient \(a,b \in \R\). Étudier la convergence des suites \((a_n)\), ...
exo7 4244
Étudiez la limite de la suite définie par \(u_n=\frac n2-\sum_{k=1}^n\frac{n^2}{(n+k)^2}\cdotp\)
exo7 4255
On note \(I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos^nt\,d t\).
exo7 4256
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue non identiquement nulle. On pose ...
exo7 4287
Soit \(f : {[a,b[} \to {\R^+}\) continue croissante. On pose ...
exo7 4323
Soit \(I_n = \int_{t=0}^1 t^n\ln(1+t^2)\,d t\). Montrer que \(I_n \to 0\) lorsqu ...
exo7 4333
On pose \(I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^nt\,d t\).
exo7 4334
Chercher \(\lim_{n\to\infty} \int_0^1\frac{t^n-t^{2n}}{1-t}\,d t\).
exo7 4359
On pose pour \(n\ge2\) : \(v_n= \int_{x=0}^1 \frac 1{1+x^n}\, d x\). Montrer que ...
exo7 4363
Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...
exo7 4373
Soit \((a_n)_{n\in\N}\) la suite définie par \(a_0=1\) et ...
exo7 4376
Soit \((f_n)_{n\in\N^*}\) une suite de fonctions définie par : ...
exo7 4404
Soit \(z\in\C\). Montrer que \(\left(1+\frac zn\right)^n \to e^z\) lorsque ...
exo7 4413
Étudier la convergence des séries de terme général :
exo7 4414
Soit la suite de terme général : \(u_n = (n^4+n^2)^{1/4}-P(n)^{1/3}\) où \(P\) es ...
exo7 4418
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \(\frac{u_{2n+1}}{u_{2n}}\to a\) et ...
exo7 4425
Soit \((a_n)\) une suite réelle positive. On pose ...
exo7 4437
Soit \(a \in \R\).
exo7 4442
On pose \(u_n = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k\sqrt k\). Donner un équivalent de \(u_n\) ...
exo7 4443
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) décroissante. On pose \(u_n = f(n)\) et ...