Programme de mathématiques BCPST, seconde année
a) Applications linéaires
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Application linéaire, endomorphisme, isomorphisme. Espaces isomorphes. | On introduit les notations $\mathscr{L}(E,F)$ et $\mathscr{L}(E)$, mais leur étude n’est pas un attendu du programme. |
Opérations sur les applications linéaires : addition, multiplication par un scalaire, composition, réciproque. Propriétés de ces opérations. | Notation $f^n$ pour $n\in\mathbb{N}$. |
Noyau. Lien avec l’injectivité. | On montre que le noyau est un sous-espace vectoriel de l’espace de départ. |
Image. Lien avec la surjectivité. | On montre que l’image est un sous-espace vectoriel de l’espace d’arrivée. |
exo7 929
Déterminer si les applications \(f_{i}\) suivantes sont linéaires : ...
exo7 933
Soient : \(E\), \(F\) et \(G\) trois sous espace ...
exo7 935
Soit \(E\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\). P ...
exo7 940
Soit \(E\) un espace vectoriel, et \(u\) une application linéaire de ...
exo7 941
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(\varphi\) une application linéaire de ...
exo7 942
Pour des applications linéaires \(f: E\rightarrow F\), \(g: F\rightarrow G\), éta ...
exo7 943
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 945
Soient \(f : E \rightarrow F\) et \(g : F \rightarrow G\) deux applications linéa ...
exo7 947
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de ...
exo7 949
Soit \(f \in \mathcal{L} (E)\). Montrer que ...
exo7 950
Soit \(U\) un sous-espace vectoriel de \(E\) espace vectoriel, et ...
exo7 954
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\), ...
exo7 956
Pour les applications linéaires suivantes, déterminer \(\ker f_i\) et \(\Im f_i\) ...
exo7 958
Soit \(f\in L(E)\) où \(E\) est un \(K-\)espace ...
exo7 960
Soit \(f \in \mathcal{L} (E)\) telle que \(f^3 = f^2 + f + id\). Montrer que ...
exo7 964
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels et ...
exo7 976
Soit \(E={\Rr}_{n}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré \(\leq n\), et ...
exo7 977
Soit \(E=C({\Rr}^{+},{\Rr})\) et \(U : E \rightarrow E\) définie par ...
exo7 978
On désigne par \(\mathcal{P}_q\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal ...
Matrices, déterminants et inversion
Un système de communication encode des messages en transformant des vecteurs \(V \in \mathbb{R}^3\) en vecteurs co ...
Réseau entièrement linéaire : équivalence avec un neurone simple
On considère un réseau \(1 \to 3 \to 1\) dont toutes les activations sont linéaires (identité).