Programme de mathématiques BCPST, seconde année
b) Variables aléatoires réelles
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Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
On nomme variable aléatoire réelle sur $(\Omega,\mathscr{T})$ toute application $X$ de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ telle que, pour tout $a\in\mathbb{R}$, l’ensemble $\{\omega\in\Omega : X(\omega)\leq a\}$, noté $(X\leq a)$, soit un événement. | Aucune vérification du fait qu’une fonction est une variable aléatoire ne sera demandée dans une épreuve de mathématiques. |
Si $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, alors $(X\in I)=\{\omega\in\Omega : X(\omega)\in I\}$ est un événement. | Résultat admis. |
Fonction de répartition : $F_X : t\mapsto P(X\leq t)$. Croissance, limites en $\pm\infty$. Deux variables $X$ et $Y$ sont dites indépendantes si pour tous intervalles $I$ et $J$, $P(X\in I\cap Y\in J)=P(X\in I)\,P(Y\in J)$. Généralisation au cas de $n$ variables aléatoires, puis d’une suite de variables aléatoires. |
Densité de probabilité et variable aléatoire continue
On considère la fonction ...
Démonstration de cours sur la fonction de répartition
Soit \(F_X\) une fonction de répartition admettant un point de discontinuité en ...
Etude d'une loi de probabilité
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle suivant une loi uniforme sur \([0;1]\). ...
Fonction de répartition, démonstration de cours
Soit \(F\) la fonction de répartition d’une variable aléatoire \(X\) quelconque. ...
Fonctions de répartition et changement de variable
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur \([0;1]\). On rapp ...
Fonctions de répartition et changement de variable
Soit \(f\) une fonction réelle définie par ...
Loi log-normale
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé ...
Propriété des fonctions de répartition
Soit la fonction \(F\) définie pour tout \(x\) réel par ...