Programme de mathématiques BCPST, seconde année
Algèbre linéaire 1 – Espaces vectoriels
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Ce chapitre reprend les concepts présentés en première année dans un cadre limité ($\mathbb{K}^n$) et les adapte brièvement à d’autres espaces, de dimension finie ou non.
La notion de somme de sous-espaces vectoriels n’est pas au programme.
On travaille uniquement dans des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels, $\mathbb{K}$ désignant $\mathbb{R}$ ou bien $\mathbb{C}$. Lorsqu’un espace est un $\mathbb{C}$-espace vectoriel, le considérer comme un $\mathbb{R}$-espace vectoriel n’est pas un attendu du programme. Il n’est pas dans l’esprit du programme de rentrer dans des détails techniques comme parler de $\mathbb{R}$-base, $\mathbb{C}$-base, $\mathbb{R}$-dimension, $\mathbb{C}$-dimension.
exo7 6237
Soit \(a,b\in E\) evn, ...
exo7 6868
Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (sur \(\Rr\)) :
exo7 7417
Deux plans de l’espace affine \(\Rr^3\) peuvent-ils avoir un unique point d’intersection ?
exo7 7453
Dans un espace vectoriel euclidien, deux sous-espaces vectoriels non nuls orthogonaux sont-ils toujours en somme directe ?
exo7 7894
Déterminer la nature de l’espace vectoriel \(V\) des matrices anti-hermitiennes (i. e. ...
exo7 892
Montrer que l’ensemble ...
exo7 896
Montrer que \[F=\{f\in C(\Rr,\Rr)|\exists (A,\phi )\in \Rr^{2},\forall x\in \Rr,f(x)=A\cos (x+\phi )\}\] est un e ...
exo7 912
Dans \(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\), les trois fonctions ...
exo7 913
Soit \(E\) un \({ \Cc}\)-espace vectoriel et ...
exo7 917
Soit \(\alpha \in \Rr\) et \(f_\alpha : \Rr \to \Rr\), ...
exo7 918
Montrer que les familles suivantes sont libres dans \({\Rr}^{{\Rr}},\) et ce quelque soit ...
exo7 921
Si \(L,M,N\) sont trois sous-espaces vectoriels de \(E\), a-t-on : ...
exo7 928
Soient \(f\) et \(g\), applications de ...
exo7 930
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 940
Soit \(E\) un espace vectoriel, et \(u\) une application linéaire de ...
exo7 944
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(F\) un sous-espace vectoriel de ...
exo7 946
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(\varphi\) une application ...
exo7 950
Soit \(U\) un sous-espace vectoriel de \(E\) espace vectoriel, et ...
exo7 958
Soit \(f\in L(E)\) où \(E\) est un \(K-\)espace ...
exo7 990
Si \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) et ...
exo7 999
On munit \(E={ \Rr}^{*}_{+}\times { \Rr}\) de la loi interne “addition” + : ...
Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^4$
On se place dans \(\mathbb{R}^4\). On considère ...
Vrai/Faux sur les espaces vectoriels
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.