À partir de la famille \((f_\alpha)_{\alpha\in \Rr}\) nous considérons une combinaison linéaire (qui ne correspond qu’à un nombre fini de termes).

Soient \(\alpha_1 > \alpha_2 > \ldots > \alpha_n\) des réels distincts que nous avons ordonnés, considérons la famille (finie) : \((f_{\alpha_i})_{i=1,\ldots,n}\). Supposons qu’il existe des réels \(\lambda_1,\ldots, \lambda_n\) tels que \(\sum_{i=1}^n \lambda_i f_{\alpha_i}=0\). Cela signifie que, quelque soit \(x \in \Rr\), alors \(\sum_{i=1}^n \lambda_i f_{\alpha_i}(x) = 0\), autrement dit pour tout \(x\in \Rr\) : \[\lambda_1 e^{\alpha_1 x} + \lambda_2 e^{\alpha_2 x} + \cdots + \lambda_n e^{\alpha_n x}=0.\] Le terme qui domine est \(e^{\alpha_1 x}\) (car \(\alpha_1>\alpha_2>\cdots\)). Factorisons par \(e^{\alpha_1 x}\) : \[e^{\alpha_1 x} \Big( \lambda_1 + \lambda_2 e^{(\alpha_2-\alpha_1) x} + \cdots + \lambda_n e^{(\alpha_n-\alpha_1) x} \Big) =0.\]

Mais \(e^{\alpha_1 x}\neq 0\) donc : \[\lambda_1 + \lambda_2 e^{(\alpha_2-\alpha_1) x} + \cdots + \lambda_n e^{(\alpha_n-\alpha_1) x} =0.\] Lorsque \(x\to +\infty\) alors \(e^{(\alpha_i-\alpha_1) x} \to 0\) (pour tout \(i\ge 2\), car \(\alpha_i-\alpha_1<0\)). Donc pour \(i\ge 2\), \(\lambda_i e^{(\alpha_i-\alpha_1) x} \to 0\) et en passant à la limite dans l’égalité ci-dessus on trouve : \[\lambda_1=0.\]

Le premier coefficients est donc nul. On repart de la combinaison linéaire qui est maintenant \(\lambda_2 f_2+\cdots + \lambda_n f_n=0\) et en appliquant le raisonnement ci-dessus on prouve par récurrence \(\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0\). Donc la famille \((f_\alpha)_{\alpha\in\Rr}\) est une famille libre.

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