Programme de mathématiques MP, MPI
Endomorphismes d’un espace euclidien
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L’objectif de cette section est double :
- approfondir dans le cadre euclidien la thématique de la réduction des endomorphismes, à travers l’étude des endomorphismes autoadjoints et des isométries ;
- introduire la notion d’endomorphisme symétrique positif, notamment en vue du calcul différentiel d’ordre 2.
La notion de produit scalaire hermitien est hors programme.
- a) Adjoint d’un endomorphisme 33
- b) Matrices orthogonales 83
- c) Isométries vectorielles d’un espace euclidien 113
- d) Isométries vectorielles en dimension 2 56
- e) Réduction des isométries 53
- f) Endomorphismes autoadjoints d’un espace euclidien 55
- g) Endomorphismes autoadjoints positifs, définis positifs 27
exo7 1562
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1563
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien de dimension \(3\) et ...
exo7 1564
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien de dimension \(4\) et ...
exo7 1565
Soit \(A=(a_{i,j})\in \mathcal{O}(n,\R) .\) Montrer pour tout ...
exo7 1566
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1567
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1568
Soit \(E\) un espace euclidien et \(u\in O (E)\) telle que ...
exo7 1569
Soit \(A = (a_{i, j}) \in O_{n} (\Rr)\). Montrer que ...
exo7 1570
Soit \(E\) euclidien, ...
exo7 1598
Soit \(A \in \mathcal{O}_n(\R)\). Montrer que si \(-1\) n’est pas valeur propre d ...
exo7 1639
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1642
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1645
Soient \(\R^n\) euclidien, \(f \in \textbf{O}_n(\R)\). Montrer que ...
exo7 1646
Diagonaliser en base orthonormale les matrices suivantes : ...
exo7 1647
Montrer que si \(A\) est une matrice symétrique réelle, alors \(A + iI\) est inve ...
exo7 1984
Soit \(E\) euclidien orienté de dimension 3 et \(a\in E\).
Soit ...
exo7 1986
Soit \(R\) le rotation vectorielle d’angle \(\theta\) et d’axe orienté par le vec ...
exo7 1987
Determiner la matrice dans la base canonique de \(\Rr^{3}\) du retournement d’axe ...
exo7 1988
Reconnaître les transformations géométriques dont les matrices respectives dans la base canonique de \(\Rr^{3}\) s ...
exo7 1989
Soit \(R\) une rotation de \(\Rr^{3}\) d’axe ...
exo7 1996
Soit \(G\) un sous-groupe fini de l’ensemble des isométries du plan. Montrer que ...
exo7 2037
On considère \(S_1\) la transformation du plan définie par le système d’équations suivant :
...
exo7 2040
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\).
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2216
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\) de rang \(r\leq p=\min (m,n)\). On considère la déco ...
exo7 2217
Définition: Soit \(\Sigma\) une matrice diagonale de type ...
exo7 2229
Soit \(v\) un vecteur réel vérifiant \(v^Tv=1\). Montrer que la matrice de Househ ...
exo7 2230
Etant donnés \(n\) vecteurs linéairement indépendants de \(\Rr^m\), ...
exo7 2231
Soient \(p,q :\) \(1\leq p < q\leq n\), ...
exo7 2232
Soit \(Z=\left(\begin{array}{cc} c&s\\ -s&c\end{array}\right)\) avec ...
exo7 2234
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\). On veut construire une matrice ...
exo7 2604
Soit \(\theta\in \R\), on considère l’endomorphisme \(f\) de ...
exo7 2670
Expliciter les 24 rotations de l’espace laissant un cube de sommets \(A_1, A_2, \dots, A_8\) invariant.
D ...
exo7 3537
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\).
exo7 3645
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3671
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(p\), ...
exo7 3673
Soient \(\vec x_1,\dots,\vec x_n\) des vecteurs d’un espace vectoriel euclidien ...
exo7 3677
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) inversible. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale, ...
exo7 3692
Soit \(E\) un espace euclidien et \(u\in\mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3700
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Trouver les applications ...
exo7 3701
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, \(\vec u \in E\) ...
exo7 3702
Soit \(\rho\) une rotation d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, et ...
exo7 3703
Soient \(f,g \in {\cal O}(\R^3)\) ayant même polynôme caractéristique.
Montrer qu’il existe ...
exo7 3704
Soit \((\vec i,\vec j,\vec k)\) une bond d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimensio ...
exo7 3705
Déterminer les sous-groupes de \({\cal O}^+(3)\) de cardinal 2,3, ou 4.
exo7 3706
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(f \in \mathcal{L}(E)\) antisymétriq ...
exo7 3707
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, \({\cal B}\) une ...
exo7 3708
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3709
Compléter la matrice ...
exo7 3710
Pour tout triplet \((a,b,c)\) de réels on pose ...