Programme de mathématiques MP, MPI
Équations différentielles linéaires
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La notion générale d’équation différentielle linéaire est introduite à partir des exemples étudiés en première année : équation scalaire d’ordre 1, équation scalaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants.
La pratique de la résolution explicite des systèmes linéaires à coefficients constants n’est pas un objectif du programme. On limite en conséquence la technicité des exercices sur ce point. On peut en revanche présenter aux étudiants divers exemples d’études qualitatives d’équations différentielles linéaires scalaires ou de systèmes linéaires. Concernant les systèmes à coefficients constants, on pourra souligner le rôle du signe des parties réelles des valeurs propres de la matrice ; on pourra également, en dimension 2, représenter les courbes intégrales.
Dans cette section, $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, $E$ un espace normé de dimension finie.
- a) Généralités 48
- b) Solutions d’une équation différentielle linéaire 80
- c) Exponentielle d’un endomorphisme, d’une matrice 32
- d) Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants 22
- e) Variation des constantes 15
exo7 1072
Soit \(J\in M_{n}({\Rr})\) une matrice telle que : \(J^{2}=I\) et ...
exo7 1077
Soit \(A\in M_{n}({\Rr})\) nilpotente, on définit : ...
exo7 1704
Résoudre les systèmes différentiels suivants ...
exo7 1705
Déterminer toutes les suites \((u_{n})\) telles que : ...
exo7 1706
Résoudre le système différentiel suivant : ...
exo7 1707
Réduire la matrice \[A= \begin{pmatrix} 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1&-3& 4 \end{pmatrix}\] ...
exo7 1713
Résoudre le système différentiel \(X'=AX\) où \(A\) est la matrice : ...
exo7 1716
Calculer les puissances et l’exponentielle (\(e^M=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^k}{k!}\)) des matrices suivantes : ...
exo7 2213
Montrer que si \(\rho (A) <1\) alors
exo7 2559
On considère l’équation différentielle \(x'=|x|+|t|\).
exo7 2561
Soit l’équation différentielle \[x'''-xx''=0\] où \(x\) est ...
exo7 2562
On considère l’équation \(xx''=(x')^2+1\) sur \(\mathbb{R}\).
exo7 2574
(5 points) Soit \(A\) une matrice carrée, \(A\in M_n(K)\) ( ...
exo7 2598
On note \((\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) la base canonique de \(\R^3\). Soit ...
exo7 2601
Soit \(A\) la matrice suivante : ...
exo7 2609
Soit \(a\in\R\) et \(A\) la matrice ...
exo7 2752
L’exponentielle d’une matrice carrée \(M\) est, par définition, la limite de la série ...
exo7 2778
En utilisant les opérations d’addition \(+\) et de multiplication \(\cdot\) de de ...
exo7 3523
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) et \(f : E \to E, u {\tilde u}\) avec ...
exo7 3546
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que \(A = A^{-1}\). ...
exo7 3578
Soit ...
exo7 3708
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 4056
Intégrer les équations suivantes :
exo7 4058
Montrer que l’équation : \(y^{(4)}+y''+y = |\sin x|\) admet une et une seule solution ...
exo7 4059
Soit \(k \in \R\). Résoudre ...
exo7 4061
Résoudre l’équation \(y'' + |y| = 1\), avec \(y(0) = 0,\ y'(0) = 1\). ...
exo7 4062
Résoudre \((E) : 4xy''+2y'+y=0\) sachant que \((E)\) admet deux solut ...
exo7 4063
Soit \(E=\mathcal{C}(\R^+,\R)\), \(b\in \R\) et ...
exo7 4064
\(x,y,z\) sont des fonctions de \(t\). Résoudre les systèmes :
exo7 4065
Résoudre le système différentiel suivant : ...
exo7 4066
Soit \((p,q)\in\R^2\) et \((E)\) l’équation : ...
exo7 4067
On désigne par \(y\) la solution de l’équation différentielle ...
exo7 4068
Trouver les fonctions \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telles que : ...
exo7 4069
On considère l’équation différentielle : \((*) \iff y'' + \frac {2y'}{\tanh x} + y = 0\).
exo7 4070
Soit \(E = \mathcal{C}^\infty(\R,\C)\) et \(\Phi : E \to E\), définie par ...
exo7 4071
Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants :
exo7 4074
Soient \({a,b} : \R \to \R\) continues, et \(y,z\) solutions de ...
exo7 4075
Soit l’équation \((*) \Leftrightarrow y' = a(x)y + b(x)\) et \(x_0\) un réel ...
exo7 4076
Soit \(\lambda \in \C\) et \(\varphi : \R \to \C\) ...
exo7 4081
Soit \(f\) continue et intégrable sur \(\R\). On considère l’équation différentie ...
exo7 4084
Soit l’équation différentielle : \((E)\Leftrightarrow u''(x) + (k-2d\cos(x))u(x)= 0\).
exo7 4086
On considère l’équation différentielle : \(-y'' + \frac y{p^2} = f\) où ...
exo7 4091
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) de \(\R\) ...
exo7 4092
Soit \({a,b} : \R \to \R\) continues telles que : \(\forall\ x\in\R,\ a(x)\ge 1\) ...
exo7 4093
Soit \(a : \R \to {\R^{+*}}\) une fonction continue.
exo7 4094
Soit \(a : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) croissante strict ...
exo7 4095
Soit \(a : {\R^+} \to \R\) continue intégrable. Montrer l’équation ...
exo7 4096
Soient \(r\) et \(q\) deux fonctions continues définies sur ...
exo7 4097
On considère l’équation \((*) \iff y'' + a(t)y' + b(t)y = 0\), avec ...
exo7 4098
Soit \(\lambda > 0\) et \(y\) une solution de ...