Programme de mathématiques MP, MPI
Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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La réduction des endomorphismes et des matrices carrées prolonge les notions d’algèbre linéaire vues en première année. Elle trouve des applications et des illustrations dans d’autres domaines du programme (topologie, équations différentielles, systèmes dynamiques discrets, chaînes de Markov). Elle permet également de tisser des liens entre l’algèbre linéaire et l’algèbre générale, notamment polynomiale.
Le but de cette section est de donner une introduction substantielle au problème de la réduction. Les approches sont de deux types, qu’il convient d’identifier : la première, de nature géométrique, repose sur les notions de sous-espace stable et d’éléments propres ; la seconde, plus algébrique, fait appel aux polynômes annulateurs.
Sans soulever de difficulté, on signale que les notions d’algèbre linéaire étudiées en première année s’étendent au cas d’un corps de base quelconque. Pour éviter les difficultés liées aux polynômes en caractéristique non nulle, la section est traité sous l’hypothèse que $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\mathbb{C}$.
- a) Compléments d’algèbre linéaire 20
- b) Éléments propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée 255
- c) Polynôme caractéristique 188
- d) Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables 203
- e) Endomorphismes et matrices carrées trigonalisables 22
- f) Endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes 43
- g) Polynômes d’un endomorphisme, d’une matrice carrée 127
- h) Lemme de décomposition des noyaux 5
- i) Polynômes annulateurs et réduction 72
- j) Théorème de Cayley-Hamilton et sous-espaces caractéristiques 14
exo7 1649
Soit \(A\in M_n(\Rr)\) telle que \(A^2=-I .\)
exo7 1650
Soient \(\ M\) et \(N \in M_n (\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1652
Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1653
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1654
Soit \(f \in \mathcal{L} (\R ^3)\) déterminée par sa matrice ...
exo7 1655
Soit \(M \in M_n(\mathbb{K} )\) et ...
exo7 1656
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1657
Soit \(\rho\) l’application de \(\R _4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...
exo7 1658
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\), dont la matrice dans la base ca ...
exo7 1659
Soit \(f\) un automorphisme d’un \(\Cc\)-espace vectoriel ...
exo7 1660
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1661
Étudier le caractère diagonalisable des matrices suivantes et le cas échéant, les diagonaliser :
exo7 1662
Soient \(A\in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(\text{tr}(A)\not= 0\) et ...
exo7 1663
Montrer que si le polynôme minimal d’un endomorphisme \(f\) d’un \(K\)-espace vec ...
exo7 1664
Étudier le caractère diagonalisable des matrices suivantes
exo7 1665
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 1666
Soient les matrices ...
exo7 1667
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 1668
On considère la matrice par blocs ...
exo7 1669
On désigne par \(E\) l’espace vectoriel des polynôme s à coefficients réels, et par ...
exo7 1670
Pour tout élément non nul \(a=(a_1, a_2, \ldots ,a_n)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on ...
exo7 1671
Soit \(B\) une matrice diagonalisable de ...
exo7 1672
On considère l’endomorphisme \(a\) de \(E=\Rr^2\) dont la matrice représentative ...
exo7 1673
Soit \(K\) un corps commutatif quelconque, et soit \(F=\mathcal{M}_n(K)\) l’espac ...
exo7 1674
Soit \(\theta\in]0,\pi[\). On considère les deux matrices d’ordre \(n\):
...
exo7 1675
Soit l’endomorphisme \(f\) de \(\Rr^3\) canoniquement associé à la matrice ...
exo7 1676
que \(f^3+f^2+f=0\) où \(E\) est un \(\Rr\)-espa ...
exo7 1677
Soient \(f\in\mathcal{L}(E)\) et \(a\in E.\)
exo7 1678
Soient \(f\in\mathcal{L}(E)\), \(F\) un sous-espace vectoriel de ...
exo7 1679
Montrer que ...
exo7 1680
Quel est le polynôme caractéristique d’un endomorphisme nilpotent d’un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1681
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\) et soient \(\lambda_1,...,\lambda_n\) ses valeurs ...
exo7 1682
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de ...
exo7 1683
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel, \(f\) et ...
exo7 1684
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1685
Soient \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1687
Mettre sous forme triangulaire les matrices suivantes : ...
exo7 1688
Soient les matrices à coefficients réels suivantes ...
exo7 1689
Soit \(f\) l’endomorphisme de l’espace vectoriel canonique \(\Rr^3\) dont la matr ...
exo7 1690
Soit ...
exo7 1691
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1692
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(4\). Soit: ...
exo7 1693
Quel est le polynôme caractéristique d’un endomorphisme nilpotent d’un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1695
Soit \(\rho\) l’application de \(\R_4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...
exo7 1696
Les matrices ...
exo7 1698
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1699
Soit \(u\in\mathcal{L}(\R^4)\) de matrice dans la base canonique : ...
exo7 1700
Soit \(A\in M_3 (\R )\) telle que \(A^3=-A\) et ...
exo7 1701
Soient \(n\in\Nn\setminus\left\{0\right\}\) et \(f\) l’endomorphisme de l’espace ...
exo7 1702
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie ...