Programme de mathématiques MP, MPI
Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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La réduction des endomorphismes et des matrices carrées prolonge les notions d’algèbre linéaire vues en première année. Elle trouve des applications et des illustrations dans d’autres domaines du programme (topologie, équations différentielles, systèmes dynamiques discrets, chaînes de Markov). Elle permet également de tisser des liens entre l’algèbre linéaire et l’algèbre générale, notamment polynomiale.
Le but de cette section est de donner une introduction substantielle au problème de la réduction. Les approches sont de deux types, qu’il convient d’identifier : la première, de nature géométrique, repose sur les notions de sous-espace stable et d’éléments propres ; la seconde, plus algébrique, fait appel aux polynômes annulateurs.
Sans soulever de difficulté, on signale que les notions d’algèbre linéaire étudiées en première année s’étendent au cas d’un corps de base quelconque. Pour éviter les difficultés liées aux polynômes en caractéristique non nulle, la section est traité sous l’hypothèse que $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\mathbb{C}$.
- a) Compléments d’algèbre linéaire 20
- b) Éléments propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée 255
- c) Polynôme caractéristique 188
- d) Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables 203
- e) Endomorphismes et matrices carrées trigonalisables 22
- f) Endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes 43
- g) Polynômes d’un endomorphisme, d’une matrice carrée 127
- h) Lemme de décomposition des noyaux 5
- i) Polynômes annulateurs et réduction 72
- j) Théorème de Cayley-Hamilton et sous-espaces caractéristiques 14
exo7 3439
Soient \(u,n \in \mathcal{L}(E)\) deux endomorphismes d’un \(\C\)-ev de dimension ...
exo7 3451
Calculer les déterminants suivants :
exo7 3484
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(K)\). Montrer que \(A\) est non inversible si et seuleme ...
exo7 3496
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3497
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3498
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3499
Chercher les valeurs propres des matrices :
exo7 3500
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\).
Chercher les valeurs et les vecteurs propres de la matrice ...
exo7 3501
Soit ...
exo7 3502
Déterminer les valeurs propres de la matrice ...
exo7 3503
Diagonaliser ...
exo7 3504
Diagonaliser ...
exo7 3505
Diagonaliser la matrice ...
exo7 3506
Soit ...
exo7 3507
Soit ...
exo7 3508
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que la somme des coefficients par ligne est constante ( ...
exo7 3509
Soit \(M=(m_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que : ...
exo7 3510
Soit \(E = K_n[X]\) et ...
exo7 3511
Soit \(E = K_n[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {(X-a)P'.}\) Chercher les v ...
exo7 3512
Soit \(E = K_{2n}[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {X(X-1)P'-2nXP.}\) Cherc ...
exo7 3513
Soient \(\alpha, \beta, \gamma \in K\) distincts, et ...
exo7 3514
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme \(\theta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(2-X).}\)
exo7 3515
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme \(\theta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1) - P'.}\) ...
exo7 3516
Soit \(f \in \mathcal{L}({\R_n[X]})\) qui à \(P\) associe ...
exo7 3517
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\C)\). L’endomorphisme \(f\) de ...
exo7 3518
Soit ...
exo7 3519
Soit \(E = \{ f : \R \to \R \text{ continues}\) tq \(f(x)\to 0\) lorsque ...
exo7 3520
Soit \(E\) le sous-espace vectoriel de \(\mathcal{C}(\R^+,\R)\) des fonctions aya ...
exo7 3521
Soit \(E = \mathcal{C}([0,+\infty[ \to\R)\) et ...
exo7 3522
Soit \(E\) l’espace vectoriel des suites réelles \(u=(u_n)_{n\ge 1}\) et ...
exo7 3523
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) et \(f : E \to E, u {\tilde u}\) avec ...
exo7 3524
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{3}(\R)\).
exo7 3525
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et \(\lambda \in K\) une valeur propre de ...
exo7 3526
Soit \(C = \begin{pmatrix} a_1\cr \vdots\cr a_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)\) et ...
exo7 3527
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(a_{ij} = \frac ij\). ...
exo7 3528
On considère le polynôme défini par : \(\forall\ n \in \N,\ P_n(x) = x^n - \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_ix^i\) avec ...
exo7 3529
Soient \(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n \in \C\). Calculer ...
exo7 3530
On considère la matrice de \(M_n(\C)\), ...
exo7 3531
Soit \(a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n \in \R\) et ...
exo7 3532
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) inversible et \(B = A^{-1}\), ...
exo7 3533
Soit \(P = a_0 + a_1X + \dots + a_{n-1}X^{n-1} - X^n \in K_n[X]\). La matrice compagnon de ...
exo7 3534
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que ...
exo7 3535
Soient \(A,B\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer l’équivalence entre :
(a) : ...
exo7 3536
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3537
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\).
exo7 3538
Soit l’application \(\Phi : {\mathcal{M}_n(\R)} \to {\mathcal{M}_n(\R)}, M \mapsto {^tM.}\) Calculer sa trace par ...
exo7 3539
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie, ...
exo7 3540
Soit \(p\) premier et \(A\in\mathcal{M}_n(\Z)\). Montrer que ...
exo7 3541
Donner une CNS sur \(a,b\in\C\) pour que la matrice ...
exo7 3542
Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(A^2 = A\) et ...