Programme de mathématiques MP, MPI
b) Éléments propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée
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Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Sous-espace stable par un endomorphisme. Endomorphisme induit. | En dimension finie, traduction matricielle. |
Droite stable par un endomorphisme. Valeur propre, vecteur propre (non nul), sous-espace propre. | Équation aux éléments propres $u(x)=\lambda x$. |
Spectre d’un endomorphisme en dimension finie. | La notion de valeur spectrale est hors programme. |
La somme d’une famille finie de sous-espaces propres d’un endomorphisme est directe. | Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre. |
Le spectre d’un endomorphisme d’un espace de dimension finie $n$ est fini, et de cardinal au plus $n$. | |
Si deux endomorphismes $u$ et $v$ commutent, tout sous-espace propre de $u$ est stable par $v$. | Le noyau et l’image de $u$ sont stables par $v$. |
Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre et spectre d’une matrice carrée. | Équation aux éléments propres $MX=\lambda X$. Deux matrices semblables ont même spectre. Si $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\mathbb{K}'$ et si $M\in\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$, le spectre de $M$ dans $\mathbb{K}$ est contenu dans le spectre de $M$ dans $\mathbb{K}'$. |
exo7 6340
Soit \(E=\Cc^n\), \(A\in{\cal L}(E,E)\) et le système différentiel ...
exo7 7411
Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr^3\) l’application linéaire définie par ...
exo7 947
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de ...
Polynôme minimal et réduction
On considère la matrice
...
Réduction d'un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$
On considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la ba ...