Texte officiel du programme
Les objectifs de cette section sont les suivants :
- étudier la convergence d’une série entière et les propriétés de sa somme ;
- introduire la notion de fonction développable en série entière ;
- établir les développements en série entière des fonctions usuelles.
Les séries entières donnent un outil puissant pour aborder certains calculs : résolution d’équations différentielles linéaires, fonctions génératrices en probabilités... Elles permettent également de revenir sur la thématique de la régularité des fonctions, introduite en première année, et donnent l’occasion d’introduire la « variable complexe ».
Les coefficients des séries entières considérées sont réels ou complexes.
- a) Généralités 100
- b) Continuité de la somme d’une série entière de la variable complexe 36
- c) Régularité de la somme d’une série entière de la variable réelle 17
- d) Fonctions développables en série entière, développements usuels 90
Résolution d'équation différentielle
Exprimer sous forme d’une série entière la solution de l’équation différentielle \((E)\): ...
Solution d'équation différentielle développable en série entière
Trouver sous forme d’une série entière la solution de l’équation différentielle \((E)\): ...
Série télescopique cachée et équivalent
Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose ...
Séries entières solutions d'équations différentielles
Déterminer les fonctions développables en série entière au voisinage de \(0\) solutions de l’équation différentiel ...
Séries entières solutions d'équations différentielles
Exprimer sous forme d’une série entière la solution de l’équation différentielle \((E)\): ...
Vrai ou faux
Pour chacune des assertions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une justification, le cas échéant avec un contre exemple, est attendue. ...