Programme de mathématiques MP, MPI
Structures algébriques usuelles
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L’étude des structures algébriques offre l’occasion d’approfondir plusieurs points abordés en première année : arithmétique de $\mathbb{Z}$ et de $\mathbb{K}[X]$, congruences, algèbre linéaire, groupe symétrique, groupes issus de l’algèbre linéaire, ou, ultérieurement, de la géométrie des espaces euclidiens.
Le paragraphe relatif aux polynômes permet de revenir sur l’étude menée en première année, dans un cadre étendu et dans un esprit plus algébrique mettant l’accent sur la notion d’idéal.
- a) Compléments sur les groupes 199
- b) Compléments sur les anneaux 70
- c) Idéaux de $\mathbb{Z}$ 5
- d) Anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 62
- e) Anneaux $\mathbb{K}[X]$ 41
- f) Algèbres 8
exo7 7359
Enoncer le théorème de Lagrange.
exo7 7361
Montrer que \(1\) est dans le sous-groupe de \((\Z,+)\) engendré par ...
exo7 7362
Le sous-ensemble \(28\Z+18\Z\) de \(\Z\) est-il un sous-groupe de ...
exo7 7363
Quels sont les ordres possibles des éléments d’un groupe d’ordre \(6\) ?
exo7 7364
Dans le groupe \(\mathcal{S}_7\) des permutations de l’ensemble fini ...
exo7 7367
Quels sont les éléments inversibles de l’anneau \((\Z/11\Z)\) ?
exo7 7368
Le but de ce problème est de montrer que l’équation \(X^2+X+1=0\) peut avoir un nombre arbitrairement grand de ...
exo7 7369
Soit \(G\) un groupe, \(e\) son élément neutre et ...
exo7 7372
Quels sont les éléments inversibles de l’anneau \((\Z/12\Z)\) ?
exo7 7373
Voici la table d’un groupe \(G\). Quel est l’ordre de \(G\) ? Le groupe ...
exo7 7375
Quelle loi fait de l’ensemble de inversibles de l’anneau \(\Z/17\Z\) un groupe ? Ce groupe est-il cyclique ?
exo7 7376
Combien l’anneau \(\Z/24\Z\) a-t-il d’éléments inversibles ?
exo7 7378
Sur le cercle unité, on a marqué les éléments du groupe des racines de l’unité d’ordre \(8\). Soit ...
exo7 7380
Combien l’anneau \(\Z/24\Z\) a-t-il d’éléments inversibles ?
exo7 7381
Donner un isomorphisme entre \(\Z/24\Z\) et un groupe produit.
exo7 7383
Donner la définition d’un idéal dans un anneau commutatif.
exo7 7384
Voici la table d’un groupe \(G\). Quel est l’ordre de \(G\) ? Le groupe ...
exo7 7385
On rappelle que \(\mathbb{F}_5\) désigne le corps \(\Z/5\Z\) à cinq éléments.
exo7 7386
Quels sont les ordres possibles des éléments de \(\left((F_{19})^\times ,\times\right)\) ?
exo7 7388
Rappeler la liste à isomorphisme près des groupes d’ordre \(4\).
exo7 7389
Donner la définition d’un idéal dans un anneau commutatif.
exo7 7391
Donner la définition d’un groupe.
exo7 7392
L’entier \(51606\) appartient-il à \(2569 + 247\Z\) ?
exo7 7394
Considérons le groupe \(\displaystyle\left(\mathbb{F}_{41} \right)^\times\). Quels sont les ordres possibles d’un ...
exo7 7395
Montrer que le polynôme \(X^3+X+1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\). ...
exo7 7396
Enoncer le théorème de Lagrange.
exo7 7397
La classe \([51]\) est-elle inversible dans l’anneau \(\Z/131\Z\). Si oui, calcul ...
exo7 7398
On rappelle que le seul polynôme irréductible de degré \(2\) sur \(\mathbb{F}_2\) ...
exo7 7402
Les groupes \(\Z/9\Z\) et \(\Z/3\Z\times \Z/3\Z\) sont-ils isomorphes ?
exo7 7404
Alice et Bernard décident d’utiliser l’algorithme d’El Gamal. Il utilise le corps \(\mathbb{F}_{13}\) avec l’éléme ...
exo7 7405
Énoncer le théorème de Lagrange.
exo7 7407
Montrer que \(1\) est dans le sous-groupe de \((\Z,+)\) engendré par ...
exo7 7409
Quels sont les éléments inversibles de l’anneau \((\Z/11\Z)\) ?
exo7 7719
Soit \(G\) un groupe fini. Soit \(p\) le plus petit facteur premier de l’ordre de ...
exo7 7721
Soit \(G\) un groupe et \(f~:G\to A\) un morphisme de groupes de ...
exo7 7730
Le groupe symétrique \(\mathcal{S}_5\) a-t-il un élément d’ordre \(6\) ?
exo7 7764
Montrer qu’un groupe d’ordre \(p^3q\) (avec \(p\) premier et ...
exo7 7766
Si \(c\) est le cycle \((1,2,3,4,5,6)\), \(c^2\) ...
exo7 7770
Soit \(G\) le sous-groupe de \(\mathcal{S}_7\) engendré par ...
exo7 7775
Soit \(G\) un groupe, \(a\) et \(b\) deux élémen ...
exo7 7842
Combien le groupe \(\mathcal{A}_5\) a-t-il d’éléments d’ordre \(3\) ?
exo7 7874
Le groupe \(\mathcal{S}_n\) est-il simple ?
exo7 7898
Soit \(D_8\) le groupe des isométries du carré. Déterminer un morphisme injectif de groupes de ...
Probabilités et divisibilité
Soit un entier \(n\) naturel non nul et non premier. On note ...