Programme de mathématiques MP, MPI
A - Suites et séries de fonctions
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- définir différents modes usuels de convergence des suites et séries de fonctions ;
- étudier la stabilité des propriétés des fonctions par passage à la limite ;
- introduire la thématique de l’approximation, reliée à la notion topologique de densité, à travers deux théorèmes d’approximation uniforme susceptibles de nombreuses applications.
La technique n’est pas un but en soi. On privilégie les exemples significatifs : construction de fonctions solutions de problèmes (équations fonctionnelles ou différentielles, par exemple), mise en évidence de fonctions aux propriétés remarquables...
En vue des applications aux équations différentielles linéaires, les fonctions considérées sont à valeurs dans un espace normé de dimension finie. Dans la pratique, on se limite pour l’essentiel au cas de fonctions à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On peut commencer par traiter le programme dans ce cadre et expliquer brièvement l’extension au cas général.
Les fonctions sont définies sur une partie $A$ d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie et à valeurs dans un espace vectoriel normé $F$ de dimension finie.
- a) Convergence simple, convergence uniforme 87
- b) Continuité, double limite 0
- c) Intégration d’une limite uniforme sur un segment 34
- d) Dérivation d’une suite de fonctions 21
- e) Séries de fonctions 11
- f) Approximation uniforme 13
exo7 1870
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\), défini ...
exo7 1877
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions continues de \([-1,1]\) à valeurs dan ...
exo7 1950
Soit \(f\) une fonction intégrable au sens de Riemann périodique de période ...
exo7 2330
Fonction Gamma - Pour tout \(x>0\), on pose ...
exo7 4000
Soit \((a_n)\) une suite bornée de réels. On pose ...
exo7 4001
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions convexes sur \([a,b]\) convergeant simpleme ...
exo7 4132
On définit une suite de fonctions sur \([0,1]\) de la manière suivante : \(f_0\) ...
exo7 4220
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue telle que pour toute fonction ...
exo7 4229
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Chercher ...
exo7 4252
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues, \(f\) positive décroissante.
...
exo7 4281
A l’aide d’une intégration par parties, montrer que ...
exo7 4334
Chercher \(\lim_{n\to\infty} \int_0^1\frac{t^n-t^{2n}}{1-t}\,d t\).
exo7 4343
On pose \(I(x) = \int_{t=0}^{\pi/2} \ln(\cos^2t + x^2\sin^2t)\,d t\).
exo7 4346
Soit \(I(x) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\cos(2xt)\,d t\). Prouver que \(I\) e ...
exo7 4347
On pose, pour \(x\) réel, ...
exo7 4355
Soit \(\theta\in{]0,\pi[}\). Montrer que ...
exo7 4359
On pose pour \(n\ge2\) : \(v_n= \int_{x=0}^1 \frac 1{1+x^n}\, d x\). Montrer que ...
exo7 4363
Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...
exo7 4365
Développer, pour tout \(x>0\), ...
exo7 4373
Soit \((a_n)_{n\in\N}\) la suite définie par \(a_0=1\) et ...
exo7 4376
Soit \((f_n)_{n\in\N^*}\) une suite de fonctions définie par : ...
exo7 4496
Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1+t^n}\).
exo7 4502
Déterminer l’ensemble de définition de \(f(x) = \sum_{k=2}^\infty\frac{(-1)^k}{x+k}\). Montrer que ...
exo7 4503
Soit \(\alpha \in \R\) et \(f_n(x) = n^\alpha x(1-x)^n\) pour ...
exo7 4504
On pose \(f_n(x) = x^n(1-x)\) et \(g_n(x) = x^n\sin(\pi x)\).
exo7 4505
Soit \(f_n(x) = n\cos^nx\sin x\).
exo7 4506
Déterminer la limite simple des fonctions \(f_n : x \mapsto \frac{x^ne^{-x}}{n!}\) sur ...
exo7 4507
Soit \({f_n} : {[0,+\infty[} \to {\R}\), ...
exo7 4508
Étudier la convergence simple, uniforme, de la suite de fonctions : ...
exo7 4509
Soit \(f_n(x) = \frac {nx}{1+n^2x^2}\). Étudier la convergence simple, puis uniforme des ...
exo7 4510
Soit \(f : {\R^+} \to \R\) continue, non identiquement nulle, telle que ...
exo7 4511
Soit \(y_n\) la solution de l’équation : ...
exo7 4512
Soit \(f : {[-1,1]} \to {[-1,1]}\) une fonction continue vérifiant : ...
exo7 4513
On pose \(f_0(t) = 0\), \(f_{n+1}(t) = \sqrt{t+f_n(t)}\), pour ...
exo7 4514
On définit une suite de fonctions \({f_n} : {\R^{+*}} \to {\R^{+*}}\) par récurrence : ...
exo7 4515
On considère la suite \((f_n)\) de fonctions sur \([0,1]\) définie par les relati ...
exo7 4516
Trouver une suite de polynômes \((P_n)\) convergeant simplement (resp. uniformément) vers la fonction nulle sur ...
exo7 4517
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue telle que pour tout entier \(k\) on a ...
exo7 4518
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\).
exo7 4519
Soient \({f_n} : D \to \R\) des fonctions continues convergeant vers une fonction continue ...
exo7 4520
Soit \(f_n\) convergeant uniformément vers \(f\), et ...
exo7 4521
Soit \({f_n} : {[a,b]} \to {[c,d]}\) et \({g_n} : {[c,d]} \to \R\) des fonctions ...
exo7 4522
Soit \(p \in \N\) fixé et \((P_n)\) une suite de fonctions polynomiales de degrés ...
exo7 4523
On considére \(f : x\mapsto 2x(1-x)\) définie sur ...
exo7 4524
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions continues \({[a,b]} \to {\R}\) convergeant ...
exo7 4525
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions \({[a,b]} \to {\R}\) convergeant simplement ...
exo7 4526
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions continues sur \(D \subset \R\) convergeant ...
exo7 4527
Soit \({f_n} : {[a,b]} \to \R\) des fonctions continues convexes convergeant simplement vers une fonction continue ...
exo7 4528
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\arccos(\cos nx)}{n!}\).
exo7 4530
Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\).