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Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2

c) Détermination d’une application linéaire

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65 exercices

Texte officiel du programme

Contenus	Capacités et commentaires
Si $(e_i)_{i\in I}$ est une base de $E$ et $(f_i)_{i\in I}$ une famille de vecteurs de $F$, alors il existe une unique application $u \in \mathscr{L}(E, F)$ telle que, pour tout $i \in I$, $u(e_i) = f_i$. Espaces vectoriels isomorphes, caractérisation par la dimension. Pour une application linéaire entre deux espaces de même dimension finie, équivalence entre injectivité, surjectivité et bijectivité. Un endomorphisme d’un espace de dimension finie inversible à gauche ou à droite est inversible. Dimension de $\mathscr{L}(E, F)$ si $E$ et $F$ sont de dimension finie. Si $E_1$ et $E_2$ sont des sous-espaces de $E$ tels que $E = E_1 \oplus E_2$, si $u_1 \in \mathscr{L}(E_1, F)$, $u_2 \in \mathscr{L}(E_2, F)$, il existe une unique application $u \in \mathscr{L}(E, F)$ coïncidant avec $u_1$ sur $E_1$ et avec $u_2$ sur $E_2$.	Caractérisation de l’injectivité, de la surjectivité, de la bijectivité de $u$.

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Capacités et commentaires

Si $(e_i)_{i\in I}$ est une base de $E$ et $(f_i)_{i\in I}$ une famille de vecteurs de $F$, alors il existe une unique application $u \in \mathscr{L}(E, F)$ telle que, pour tout $i \in I$, $u(e_i) = f_i$.
Espaces vectoriels isomorphes, caractérisation par la dimension.
Pour une application linéaire entre deux espaces de même dimension finie, équivalence entre injectivité, surjectivité et bijectivité.
Un endomorphisme d’un espace de dimension finie inversible à gauche ou à droite est inversible.
Dimension de $\mathscr{L}(E, F)$ si $E$ et $F$ sont de dimension finie.
Si $E_1$ et $E_2$ sont des sous-espaces de $E$ tels que $E = E_1 \oplus E_2$, si $u_1 \in \mathscr{L}(E_1, F)$, $u_2 \in \mathscr{L}(E_2, F)$, il existe une unique application $u \in \mathscr{L}(E, F)$ coïncidant avec $u_1$ sur $E_1$ et avec $u_2$ sur $E_2$.

Caractérisation de l’injectivité, de la surjectivité, de la bijectivité de $u$.