Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie
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Cette section « boîte à outils » complète l’enseignement du lycée sur un certain nombre de points importants pour la suite :
- calculs de sommes et de produits, dont la formule du binôme ;
- résolution de petits systèmes linéaires par l’algorithme du pivot ;
- manipulation d’inégalités et résolution d’inéquations ;
- utilisation du cercle trigonométrique, manipulation des lignes et fonctions trigonométriques.
- a) Sommes et produits 139
- b) Résolution de petits systèmes linéaires par la méthode du pivot 59
- c) Inégalités 111
- d) Trigonométrie 175
exo7 7118
Soit \(\mathcal C\) un cercle de centre \(O\), ...
exo7 7124
Les bissectrices intérieure et extérieure en \(A\) d’un triangle \(ABC\) non isoc ...
exo7 7125
Soient \(\mathcal C\) et \(\mathcal C'\) deux cercles tangents en un point ...
exo7 7126
Soit \(ABC\) un triangle direct, et \(P\), \(Q\) ...
exo7 7127
Une ligne brisée \(ABCDE\) formée d’angles de 45 degrés est inscrite dans un cercle. Elle partage le disque en deu ...
exo7 7128
Soit \(\mathcal C\) un cercle, \([BC]\) une corde, et ...
exo7 7132
On considère l’énoncé suivant :
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe, direct. Alors ...
exo7 7133
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral et \(M\) un point du cercle circonscrit appa ...
exo7 7134
Soit \(\Gamma\) un cercle, \(O\) son centre et ...
exo7 7136
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe. On note \(\mathcal B_A\) (resp. ...
exo7 7139
Soit \(ABC\) un triangle, \(H\) son orthocentre et ...
exo7 7169
Soient \(a\) et \(b\) deux réels. Montrer ...
exo7 7170
On considère deux réels positifs dont le produit vaut \(100\). Leur somme a-t-elle une valeur minimale et si oui l ...
exo7 7171
Soit \(n>0\) un entier. On considère \(n\) réels positifs dont le produit vaut ...
exo7 7172
Un magasin vend au même prix deux lots de trois cristaux. Le premier lot comporte trois cristaux cubiques de côté ...
exo7 7173
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des réels positifs. ...
exo7 7174
Soient \(a_1\), ... \(a_n\) des réels strictement positifs et ...
exo7 7175
Soient \(a, b \in \R^*\). Montrer que \[(1+a^2)(1+b^2) \geq 4ab.\]
exo7 7176
Soient \(a, b, c \in \R_+^*\). Montrer que ...
exo7 7177
Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs tels que ...
exo7 7178
Soient \(a\), \(b\), \(c\) et ...
exo7 7179
Résoudre sur \(\R\) l’équation \[2^x + x^2 = 2-\frac{1}{2^x}.\]
exo7 7180
Résoudre le système ...
exo7 7181
Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs. Montrer que ...
exo7 7182
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels. Montre ...
exo7 7183
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels. Montre ...
exo7 7184
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels non nul ...
exo7 7185
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des réels stricteme ...
exo7 719
Étant donné \(y\) un réel positif et \(n\) un entier naturel pair, montrer que ...
exo7 725
Par application du théorème des accroissements finis à \(f(x) = \ln x\) sur ...
exo7 7255
Soit \(\theta\) un nombre réel.
exo7 7256
Exprimer \(\cos(a)\cos(b)\) en fonction de \(\cos(a+b)\) et ...
exo7 7257
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\sqrt{3} \cos(x) + \sin(x) = \sqrt{2}\).
exo7 7258
Construire à la règle et au compas un angle de mesure \(\pi/12\).
exo7 7259
On dit qu’un angle est inscrit dans un cercle si son sommet appartient à ce cercle. Démontrer le théorème des angles inscrits :
Deux angles d ...
exo7 7260
Soit \(E\) un plan euclidien orienté, muni d’un repère ...
exo7 7267
Soit \(ABC\) un triangle. Notons \(\Delta_A\), ...
exo7 7280
Montrer que pour tout \(\theta \in \Rr\), on a ...
exo7 7353
Soit \(G\) un ensemble muni d’une relation d’ordre \(\leq\) et d’une structure de ...
exo7 741
Écrire sous la forme \(\frac{m}{n}\pi\) avec \(m\in \Z\), ...
exo7 742
Résoudre les équations suivantes :
exo7 7422
Soit \(a\) et \(b\) deux réels non nuls distincts. Dans un plan affine muni d’un ...
exo7 743
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation: ...
exo7 744
Soient les fonctions \(f:x\mapsto\arcsin(\sin x)\) et ...
exo7 7455
Le but de cet exercice est de démontrer que le symétrique de l’orthocentre \(H\) d’un triangle non plat ...
exo7 747
Écrire sous forme d’expression algébrique
exo7 750
Calculer \[\Arctan \frac{1}{2}+\Arctan \frac{1}{5}+\Arctan \frac{1}{8}.\]
exo7 751
Simplifier les expressions suivantes : ...
exo7 7519
Soit \(z\) et \(w\) deux nombres complexes. Démontrer que ...
exo7 753
Montrer que \(\dfrac{\pi}4 = 4\arctan (\dfrac 15) - \arctan (\dfrac 1{239})\) (on montrera que ...