Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité, convexité
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Dans cette section, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle et on développe l’étude des fonctions convexes amorcée en terminale. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-e), sont à valeurs réelles. On dit qu’une propriété portant sur une fonction $f$ définie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l’intersection de $I$ avec un intervalle ouvert centré en $a$ si $a$ est réel, avec un intervalle $]A, +\infty[$ si $a = +\infty$, avec un intervalle $]-\infty, A[$ si $a = -\infty$.
L’étude des suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée. On pourra en particulier présenter la méthode de Newton. De même, l’étude de la dérivabilité donne un prétexte pour présenter la notion de discrétisation, à travers la méthode d’Euler.
exo7 4009
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On note ...
exo7 4011
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\). Pour ...
exo7 4012
Différences finies Soit \(f:\R \to \R\) de classe ...
exo7 4016
Soit \(f : {]0,+\infty[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que ...
exo7 4022
\(x^{\arcsin x} \to 1\) lorsque ...
exo7 4023
\(\frac {\sqrt{x+3} - \sqrt[3]{3x+5}}{1 - \tan(\pi x/4)} \to 0\) lorsque ...
exo7 4024
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\). CNS pour que ...
exo7 4031
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\). On pose ...
exo7 4034
Soit \(f : \R \to \R\) deux fois dérivable. Chercher ...
exo7 4035
Soit \(f : \R \to \R\) convexe dérivable telle que ...
exo7 4036
Soit \(f : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que : ...
exo7 4037
Montrer que l’équation \(\tan x = x\) possède une unique solution \(x_n\) dans ...
exo7 4068
Trouver les fonctions \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telles que : ...
exo7 4078
Soit \(E = \{ \text{fcts : } [0,1] \to \R \text{ continues } \}\) et ...
exo7 4090
Soit \(f : \R \to\R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que ...
exo7 4098
Soit \(\lambda > 0\) et \(y\) une solution de ...
exo7 4105
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) de ...
exo7 4125
Existe-t-il une fonction \(f : (y,t) \to f(y,t)\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4126
Soit \(F : {[a,b]\times \R} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que pour t ...
exo7 4132
On définit une suite de fonctions sur \([0,1]\) de la manière suivante : \(f_0\) ...
exo7 4133
Soient \(f : {\R^2} \to \R, {(t,x)} \mapsto {f(t,x)}\) de classe ...
exo7 4151
Soient \({f,g} : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^n\). Calculer ...
exo7 4173
Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^2\) contenant ...
exo7 4174
Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^n\) et ...
exo7 421
Soit \(P \in \Rr[X]\) scindé sur \(\Rr\) à racines simples.
exo7 4221
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue non identiquement nulle, telle que : ...
exo7 4222
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues, \(f\) positive.
exo7 4223
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue et \(g : \R \to \R\) continue convexe.
...exo7 4225
Chercher \(\lim_{x \to 0^+} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\,\ln(1+t^2)}{\sin^2t\,\sh t}\,d t\).
exo7 4228
Trouver \(\lim_{n\to\infty} \frac 1{n+1} + \frac 1{n+2} + \dots + \frac 1{kn}\) pour ...
exo7 4230
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4246
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) définie par ...
exo7 4248
Soit \(f:\R \to \R\) convexe et \(g(x) = \int_{t=x-1}^{x+1} f(t)\,d t\). Montrer ...
exo7 4251
Soit \(f : {[0, a[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que ...
exo7 4252
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues, \(f\) positive décroissante.
...
exo7 4253
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to {\R}\) continues, \(f\) décroissante, et ...
exo7 4254
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que ...
exo7 4256
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue non identiquement nulle. On pose ...
exo7 4258
Soit \((f_i)\) une famille de fonctions convexes sur un intervalle \(I\).
...
exo7 4259
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^{+*}}\) continue.
exo7 4261
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b])\), et ...
exo7 4292
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) vérifiant ...
exo7 4293
Soit \(f : {[1,+\infty[} \to {\R^+}\) une fonction décroissante telle que ...
exo7 4295
Soit \(f : {]0,{+\infty}[} \to \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 4296
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) continue ayant une limite finie en \(+\infty\). Mo ...
exo7 4300
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4308
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que ...
exo7 4309
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), intégrable.
exo7 4311
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur ...
exo7 4313
Chercher \(\lim_{x\to0} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\ln(1+t^2)}{\sin^2t\sh t}\,d t\).