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Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées complexes de format ...

Trouver \(A\) dans \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) telle que la comatrice de ...

Soit ...

Commutant de \(\left( \begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array} \right)\).

Montrer que pour toute matrice carrée \(A\) réelle de format \(n\), on a ...

Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique positive de format \(n\). Montrer ...

Déterminer \(\text{card}(O_n(\Rr)\cap\mathcal{M}_n(\Zz))\).

Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées réelles symétriques positives. Montre ...

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\). Montrer qu’il existe \(p_0\in\Nn\) tel que ...

Calculer \(\text{exp}(tA)\), \(t\in\Rr\), si

Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension \(n\).

Trouver une décomposition en produit de transpositions des permutations suivantes :

Déterminer la signature des permutations :

Décomposer en produit de cycles à supports deux à deux disjoints les permutations suivantes ...

Ecriver les produits suivants comme produits de cycles disjoints. ...

Vérifier que pour tout cycle \((i_1\, i_2\dots i_p),\; p\geq 2\), dans \(S_n\) et ...

Dans le groupe symétrique \(S_4\) trouver les sous-groupes suivants

Trouver l’ordre des permutations suivantes \[(abcdef)(ghij)(klm)\; ;\; \; \; \; (123456)(1234)(123)\, .\]

Montrer que les seuls groupes distingués de \(S_5\) sont ...

Soit \(G\) un groupe fini et \(H\) un sous-groupe d’indice ...

Prouver que les permutations ...

Soit \(\phi\) un automorphisme de \(S_n\). Montrer que si ...

Calculer le résultant des polynômes :

Calculer (s’il existe) l’inverse des matrices : ...

Calculer les déterminants des matrices suivantes : ...

Calculer les déterminants des matrices suivantes :

...

Calculer les déterminants suivant : ...

Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle équilatéral et \(G=Isom(\mathcal T)\) son gro ...

Montrer que les deux permutations \(\tau=(1,2)\) et \(c=(1,2,3)\) engendrent le g ...

Donner la liste des permutations du groupe symétrique \(\mathcal{S}_4\).

Calculer les produits dans \(\mathcal{S}_7\), \((1,2)(1,3)\) et ...

Dans le groupe \(\mathcal{S}_7\) des permutations de l’ensemble fini ...

Décomposer en produit de cycles à supports disjoints la permutation ...

Soit \(G\) un groupe, \(e\) son élément neutre et ...

Voici la table d’un groupe \(G\). Quel est l’ordre de \(G\) ? Le groupe ...

Calculer les produits dans \(\mathcal{S}_7\), \((1,2)(1,3)\) et ...

Quelle loi fait de l’ensemble de inversibles de l’anneau \(\Z/17\Z\) un groupe ? Ce groupe est-il cyclique ?

Combien l’anneau \(\Z/24\Z\) a-t-il d’éléments inversibles ?

Enoncer le théorème de Lagrange.

Calculer les produits dans \(\mathcal{S}_7\), \((1,2)(1,3)\) et ...

Décomposer en produit de cycles à supports disjoints la permutation ...

Pour un entier \(n\geq 2\) et \(x\) dans \(\Rr\) ...

Le groupe symétrique \(\mathcal{S}_5\) a-t-il un élément d’ordre \(6\) ?

Montrer qu’un groupe d’ordre \(p^3q\) (avec \(p\) premier et ...

On considère l’élément de \(\mathcal{S}_8\) : ...

Si \(c\) est le cycle \((1,2,3,4,5,6)\), \(c^2\) ...

Soit \(G\) le sous-groupe de \(\mathcal{S}_7\) engendré par ...

Montrer sans calcul que la matrice suivante \(A\) à coefficients complexes est inversible ...

On considère dans \(\C ^4\) la matrice ...

Combien le groupe \(\mathcal{A}_5\) a-t-il d’éléments d’ordre \(3\) ?