La matrice \(A\) est symétrique réelle positive. Donc ses valeurs propres \(\lambda_1\),..., \(\lambda_n\) sont des réels positifs. De plus,

\(\text{det}A =\lambda_1...\lambda_n\) et \(\text{det}(I_n+A) =\chi_A(-1) =(1+\lambda_1)...(1+\lambda_n)\).

L’inégalité à démontrer équivaut donc à :

\(\forall(\lambda_1,...,\lambda_n)\in(\Rr^+)^n\), \(1+\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}\lambda_k}\leqslant\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}(1+\lambda_k)}\).

Soit donc \((\lambda_1,...,\lambda_n)\in(\Rr^+)^n\). Si l’un des \(\lambda_k\) est nul, l’inégalité est immédiate.

Supposons dorénavant tous les \(\lambda_k\) strictement positifs. L’inégalité à démontrer s’écrit

\(\ln\left(1+\text{exp}\left(\frac{1}{n}\left(\ln(\lambda_1)+...+\ln(\lambda_n)\right)\right)\right)\leqslant\frac{1}{n}\left(\ln(1+\text{exp}(\ln(\lambda_1)))+ ... +\ln(1+\text{exp}(\ln(\lambda_n)))\right)\)\((*)\)

ou encore \(f\left(\frac{1}{n}(x_1+...+x_n)\right)\leqslant\frac{1}{n}(f(x_1)+...+f(x_n))\) où \(\forall x\in\Rr\), \(f(x) =\ln(1+e^x)\) et \(\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket\), \(x_k =\ln(\lambda_k)\).

L’inégalité à démontrer est une inégalité de convexité. La fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(\Rr\) et pour tout réel \(x\),

\(f'(x)=\frac{e^x}{e^x+1}=1-\frac{1}{e^x+1}\) puis \(f''(x) =\frac{e^x}{(e^x+1)^2}\geqslant0\).

La fonction \(f\) est donc convexe sur \(\Rr\) ce qui démontre l’inégalité \((*)\).

\(\forall A\in\mathcal{S}_n^+(\Rr)\), \(1 +\sqrt[n]{\text{det}(A)}\leqslant\sqrt[n]{\text{det}(I_n+A)}\).

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