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Étudier le groupe des isométries du carré.

Une permutation de l’ensemble de \(n\) éléments \(\{1,2,\ldots,n\}\) est une bije ...

Soit \(K=\left\{\text{Id}, f_1,f_2,f_3\right\}\) où \(f_1,\) ...

On appelle ordre d’un élément d’un groupe fini \((G,\ast)\) l’ordre du sous-groupe engendré dans ...

On note \(R_n\) la rotation du plan de centre \(O\), d’angle ...

Déterminer \(\text{card}(S_{3})\) et écrire tous les éléments de \(S_{3}\), puis ...

On considère le groupe symétrique \(S_n\).

Comment passer de 1234 à 2314 en échangeant seulement deux chiffres à chaque étape ? Y a-t-il plusieurs façons d’y parvenir ? Même question pour 12 ...

Représenter graphiquement les permutations suivantes. Les décomposer en produit de cycles à supports disjoints, puis en produits de transpositions. ...

Soient \(a,b,c\) trois éléments distincts de \(\{1,...,n\}\). Calculer le produit ...

Décrire tous les morphismes de groupe de \((\mathcal{S}_{n},\circ)\rightarrow (\{+1,-1\},\cdot)\), c’est les appli ...

On note \(\mathcal{S}_n\) le groupe symétrique des permutations sur \(n\) élément ...

Soit \(G\) un groupe d’ordre \(2n\) et \(H\) un ...

Déterminer tous les éléments \(\sigma \in S_n\) tels que \(\sigma ^2=\sigma\). ...

Rappeler \(\vert S_3\vert .\) Montrer que \(S_3\) ne contient pas d’élément d’o ...

I
Soit \((G,\cdot)\) un groupe. On définit le centre \(\mathcal{Z}(G)\) de ...

Quel est l’ordre maximal d’un élément de \(S_4 ?\) De \(S_5 ?\) De ...

Calculer \(Z(S_n)\) suivant les valeurs de \(n\in \N .\)

Trouver la décomposition en produit de cycles à supports disjoints, la signature, l’ordre et une décomposition en produit de transpositions des per ...

Le groupe \(G=\mathcal{S}_3\times \mathcal{S}_3\) est-il abélien ? Déterminer tous les sous-groupes de ...

Quel est le nombre de \(k\)-cycles dans \(\mathcal{S}_k\) puis dans ...

Montrer que dans \(\mathcal{S}_n\) on a \(f\circ (a,b)\circ f^{-1}=(f(a),f(b))\). ...

Montrer que \(\mathcal{S}_n\) est isomorphe à un sous-groupe de ...

Montrer que tout groupe fini est isomorphe à un sous-groupe de \(S_{n}\) (groupe symétrique) ...

Déterminer tous les groupes d’ordre \(\leq 5\). En déduire qu’un groupe non commutatif possède au moins 6 éléments ...

Déterminer tous les sous-groupes du groupe symétrique \(S_3\).

Soient \(\sigma\) et \(\tau\) deux transpositions de ...

Soit \(n\in\N^*\). Calculer la somme des nombres d’inversions de toutes les permutations de ...

Matrices de permutation

Soit \(n\in\N^*\) et \(K\) un corps. Montrer que l ...

Soit \(\sigma\in S_n\) et \(c=(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)\) un cycle. Quelle est la na ...

Expliciter les 24 rotations de l’espace laissant un cube de sommets \(A_1, A_2, \dots, A_8\) invariant.

D ...

On définit une permutation \(\sigma\) de l’ensemble \(\{1, 2, \dots, 15\}\) par l ...

Soit \(n \in \N^*\). Montrer que \({\cal S}_n\) est engendré par les ...

Montrer que toute permutation de \({\cal S}_n\) s’écrit de manière unique : ...

Calculer \((a\,b\,c) \circ (b\,c\,d)\).

Soit \(n \in \N,n \ge 4\).

Soit \(\sigma \in {\cal S}_n\). On note \(c\) le nombre de cycles à ...

Soit \(\sigma \in S_n\). On appelle orbite de \(\sigma\) to ...

Soient \(\sigma, \sigma' \in {\cal S}_n\). On dit que \(\sigma\) et ...

Soit \(E\) un ensemble fini et \(f : {{\cal S}_E} \to {\C^*}\) un morphisme de gr ...

Soit ...

Soit \(E\) un ensemble ayant au moins trois éléments.

Soit \(\sigma = (1\ 2\ \dots \ n) \in {\cal S}_n\). Trouver toutes les permutations ...

Dans \({\cal S}_{10}\), quelles sont les permutations qui commutent avec ...

Soit \(\sigma\) un \(k\)-cycle de \({\cal S}_n\) ...

Trouver l’ordre maximal d’une permutation de \({\cal S}_{10}\).

Soit \(H\) un sous-groupe de \({\cal S}_n\) d’ordre ...

Combien y a-t-il de permutations de \({\cal S}_{26}\) comportant trois points fixes, deux 3-cycles, un 5-cycle, et ...

Soient \(a,b,c\) les racines de \(X^3 + pX + q\), ...

Soit \(\sigma \in S_n\) (groupe symétrique) et ...