Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
A - Limites et continuité
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Le paragraphe a) consiste largement en des adaptations au cas continu de notions déjà étudiées pour les suites. Afin d’éviter des répétitions, le professeur a la liberté d’admettre certains résultats.
Pour la pratique du calcul de limites, on se borne à ce stade à des calculs très simples, en attendant de disposer d’outils efficaces (développements limités).
- a) Limite d’une fonction en un point 152
- b) Continuité en un point 173
- c) Continuité sur un intervalle 225
- d) Fonctions complexes 2
exo7 629
Déterminer les limites suivantes : \[\frac{x}{2 + \sin (\frac 1x)} \qquad \text{ en } 0\]
...
exo7 630
Étudier les asymptotes de \(f (x) = e^{\frac 1x}\sqrt{x (x + 2)}\).
exo7 631
Montrer que \[\frac{\ln (x)}{x^\alpha} < \frac{2}{\alpha x^{\alpha/2}} \text{ où } \alpha > 0.\] En déduire ...
exo7 6315
Soit \(f,g\) deux fonctions réelles continues sur un intervalle \(I\) de ...
exo7 632
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 6321
On considère l’équation \((1)\quad x'=3x^{2/3}\) avec condition initiale ...
exo7 633
Calculer : ...
exo7 6331
Soit \(u,v\) deux applications de \([0,\beta]\) dans ...
exo7 634
Calculer : \[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{(\sin x)^{2}}-\frac{1}{(\sinh x)^{2}}\right).\]
exo7 635
Calculer : ...
exo7 636
Trouver : \[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{x^{x}}\ln x}{x^{x}-1}\]
exo7 637
Trouver pour \((a,b)\in (\Rr^{+*})^{2}\) : ...
exo7 638
Trouver pour \((a,b)\in (\Rr^{+*})^{2}\) : ...
exo7 639
Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\Rr\), ...
exo7 640
Soit \(f\) une fonction de \(\lbrack a,b \rbrack\) dans ...
exo7 641
Soit \(f\) une fonction continue sur \(]a,b[\) telle que ...
exo7 642
Soit \(f:[a,b]\longrightarrow\R\) une fonction continue telle que \(f(a)=f(b)\). ...
exo7 643
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) continue telle que ...
exo7 644
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr^ +\) continue telle que \(f (0) = 1\), ...
exo7 645
Soient \(I\) un intervalle de \(\Rr\) et ...
exo7 646
Soit \(f : \Rr^ + \rightarrow \Rr\) continue admettant une limite finie en ...
exo7 647
Soient \(f\) et \(g\) continues sur \([0, 1]\) t ...
exo7 648
Soit \(f\) croissante sur \([a, b]\) et prenant toute valeur entre ...
exo7 649
Soit \(f:\Rr\rightarrow \Rr\) continue en \(0\) telle que ...
exo7 650
Soit \(f\) périodique croissante. Que dire de \(f\) ?
exo7 651
Donner un exemple de fonction continue sur \([0,1]\) non lipschitzienne, puis de fonction continue en un seul poin ...
exo7 652
Soit \(f\) continue sur \(\Rr\) admettant \(1\) ...
exo7 653
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) croissante, montrer qu’elle a un point fixe.
Indication : étudie ...
exo7 654
Soit \(f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr\) croissante telle que ...
exo7 655
Soit \(f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr\) une fonction vérifiant : ...
exo7 656
Soit \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) croissante. Construire ...
exo7 657
Donner un exemple d’application \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\) non constante telle que : ...
exo7 658
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) continue. Montrer que : ...
exo7 659
Existe-t-il une bijection continue de \([0,1[\) sur \({\Rr }\) ?
exo7 660
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) continue telle que \(f\circ f=f\). On note ...
exo7 661
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) continue, évaluer : ...
exo7 662
Une fonction qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires est-elle nécessairement continue ?
exo7 663
Soit \(f\) uniformément continue sur \({\Rr}^{+}\) telle que ...
exo7 664
Soit \(f\in C({\Rr}^{+},{\Rr})\) admettant une limite finie en \(+\infty\), montr ...
exo7 665
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), montrer : ...
exo7 666
Soit \((f,g)\in C([0,1],[0,1])^{2},\) tel que : \(fg=gf.\) On veut montrer que ...
exo7 667
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) continue, telle que \(f(0)=f(1).\) Montrer que ...
exo7 668
Soit \(f\) continue de \({\Rr}\) dans \({\Rr}\), ...
exo7 669
Soit \(f : [a,b] \to \R\) une fonction continue. On veut démontrer que ...
exo7 670
Soit \(f : \R\setminus\{1/3\}\rightarrow \R\) telle que ...
exo7 671
Soit \(f\) la fonction réelle à valeurs réelles définie par ...
exo7 672
Etudier la continuité de \(f\) la fonction réelle à valeurs réelles définie par ...
exo7 673
Soit la fonction réelle définie par \(f(x)=1\) si \(x\in\Q\) et ...
exo7 6739
Soit \(f\) une fonction continue du quart de plan \(\{x+iy;\ x,y\geq0\}\) dans ...
exo7 674
On admet que pour tout \(x\in \mathbb{R} , \vert \sin x \vert \leq \vert x\vert .\)